모노드로미

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수학에서, 모노드로미(영어: monodromy)는 피복공간특이점 주변에서 보이는 구조를 나타내는 수학적 대상이다.

정의[편집]

X연결되고 국소연결된 위상공간이라고 하자. p\colon\tilde X\to XX피복공간이라고 하자. 또한, x\in X에 대하여 F=p^{-1}(x)가 그 올(fiber)이라고 하자.

폐곡선 \gamma\colon[0,1]\to Xx에서 시작하고 끝난다고 하자. 즉, \gamma(0)=\gamma(1)=x이다. 그렇다면 이 폐곡선을 피복공간으로 올려(lift) \tilde\gamma\colon[0,1]\to\tilde X를 생각할 수 있다. 이 곡선은 더 이상 일반적으로 폐곡선이 아니다. \tilde\gamma\tilde x_1\in F에서 시작하여 \tilde x_2\in F에 끝난다고 하자. 이에 따라, 이를 기본군 \pi_1(X,x)F에 대한 군의 작용으로 생각할 수 있다. 이 작용을 모노드로미 작용(monodromy action)이라고 하며, 준동형사상 \pi_1(X,x)\to\operatorname{Aut}(F)모노드로미 군(monodromy group)이라고 한다.

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복소 로그로 의하여 주어지는 복소 평면의 피복공간

모노드로미는 복소해석학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 복소 로그 \log(z)를 원점을 한 번 도는 폐곡선을 따라 해석적 연속을 통하여 연장하면, 시작한 점에서 2\pi i만큼 다른 값을 얻는다. 복소 로그를 p\colon\mathbb C\to\mathbb C\setminus\{0\} 꼴의 피복공간으로 생각하면, x\in\mathbb R^+에 대응하는 올은 F=\{\log(x)+2\pi ni|n\in\mathbb Z\}이다. \mathbb C\setminus\{0\}기본군은 그 감음수로 나타내어지는 \pi_1(\mathbb C\setminus\{0\})=\mathbb Z이므로, 그 모노드로미 작용은 n\colon\log(x)\mapsto\log(x)+2\pi ni임을 알 수 있고, 그 모노드로미 군은 \mathbb Z이다.

리만 기하학홀로노미도 모노드로미의 일종으로 생각할 수 있다.

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