모노드로미

수학에서, 모노드로미(monodromy)는 피복공간이 특이점 주변에서 보이는 구조를 나타내는 수학적 대상이다.

정의

$X$가 연결되고 국소연결된 위상공간이라고 하자. $p\colon\tilde X\to X$가 $X$의 피복공간이라고 하자. 또한, $x\in X$에 대하여 $F=p^{-1}(x)$가 그 올(fiber)이라고 하자.

폐곡선 $\gamma\colon[0,1]\to X$가 $x$에서 시작하고 끝난다고 하자. 즉, $\gamma(0)=\gamma(1)=x$이다. 그렇다면 이 폐곡선을 피복공간으로 올려(lift) $\tilde\gamma\colon[0,1]\to\tilde X$를 생각할 수 있다. 이 곡선은 더 이상 일반적으로 폐곡선이 아니다. $\tilde\gamma$가 $\tilde x_1\in F$에서 시작하여 $\tilde x_2\in F$에 끝난다고 하자. 이에 따라, 이를 기본군 $\pi_1(X,x)$의 $F$에 대한 군의 작용으로 생각할 수 있다. 이 작용을 모노드로미 작용(monodromy action)이라고 하며, 준동형사상 $\pi_1(X,x)\to\operatorname{Aut}(F)$의 상을 모노드로미 군(monodromy group)이라고 한다.

예제

복소 로그로 의하여 주어지는 복소 평면의 피복공간

모노드로미는 복소해석학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 복소 로그 $\log(z)$를 원점을 한 번 도는 폐곡선을 따라 해석적 접속을 통하여 연장하면, 시작한 점에서 $2\pi i$만큼 다른 값을 얻는다. 복소 로그를 $p\colon\mathbb C\to\mathbb C\setminus\{0\}$ 꼴의 피복공간으로 생각하면, $x\in\mathbb R^+$에 대응하는 올은 $F=\{\log(x)+2\pi ni|n\in\mathbb Z\}$이다. $\mathbb C\setminus\{0\}$의 기본군은 그 감음수로 나타내어지는 $\pi_1(\mathbb C\setminus\{0\})=\mathbb Z$이므로, 그 모노드로미 작용은 $n\colon\log(x)\mapsto\log(x)+2\pi ni$임을 알 수 있고, 그 모노드로미 군은 $\mathbb Z$이다.

리만 기하학의 홀로노미도 모노드로미의 일종으로 생각할 수 있다.