보른-인펠트 이론

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보른-인펠트 이론(영어: Born-Infeld theory)은 비선형 전자기 이론의 하나다.

역사[편집]

막스 보른레오폴트 인펠트가 1934년에 도입하였다.[1]

정의[편집]

보른-인펠트 이론의 작용은 다음과 같다.

\mathcal{L}=-b^2\sqrt{-\det\left(\eta+{F\over b}\right)}+b^2

여기서 \eta민코프스키 계량 텐서이며, F패러데이 텐서다. b는 척도 매개변수다.

3차원 벡터로 쓰면 작용은 다음과 같다.

\mathcal{L}=-b^2\sqrt{1-\frac{E^2-B^2}{b^2}-\frac{(\mathbf E\cdot\mathbf B)^2}{b^4}}+b^2

여기서 \mathbf E는 전기장, \mathbf B는 자기장이다.

특성[편집]

보른-인펠트 이론에서는 전자기장의 크기가 제약을 받는다. 정확히 말하면, 전기장 \mathbf E과 자기장 \mathbf B는 다음을 만족한다.

E^2-B^2+(\mathbf E\cdot\mathbf B)^2/b^2\le b^2.

즉, 만약 자기장이 없으면 (\mathbf B=\mathbf 0) 전기장의 최대값은 b이다.

E\le b.

또한, 만약 전자기장의 크기가 b보다 현저히 작다면 (E,B\ll b) 보른-인펠트 이론은 맥스웰 이론으로 수렴한다.

점전하의 자체 에너지[편집]

맥스웰 이론에서는 점전하의 자체 에너지가 발산한다. 역사적으로 보른과 인펠트는 전자의 자체 에너지가 맥스웰 이론에서 발산하는 문제를 풀기 위하여 보른-인펠트 이론을 도입하였다. 보른-인펠트 이론에서는 점전하의 전자기장 \mathbf E, \mathbf B가 유한하지만, 에너지 밀도는 발산하게 된다. 그러나 이 경우 총 에너지는 유한하다.[2] 이러한 해를 바이온(BIon)이라고 한다.[3][4] 여기서 "BI"는 "보른-인펠트"의 약자이다.

디랙-보른-인펠트 작용[편집]

끈 이론에서, 디리클레 브레인 위의 게이지 장은 위와 비슷한 꼴의 작용을 가지는데, 이를 디랙-보른-인펠트 작용(영어: Dirac–Born–Infeld action)이라고 부른다. 구체적으로, 그 작용은 다음과 같다.[5]

\mathcal{L}=-T_p\sqrt{-\det\left(\eta+2\pi\alpha'F\right)}.

여기서 T_p는 디리클레 브레인의 장력(tension)이다. F_{ab}는 디리클레 브레인의 게이지 장세기로, 전자기론에서의 패러데이 텐서에 해당한다. \alpha'레제 기울기로, 끈 이론에 등장하는 상수다.

만약 여기에 캘브-라몽 장 B_{ab}딜라톤 \Phi를 추가하고, 중력장을 (\eta 대신) 일반적으로 G_{ab}로 쓰면 다음과 같다.

\mathcal L= -T_pe^{-\Phi} \sqrt{ \det (G+ B+ 2\pi\alpha'F)}.

따라서 디리클레 브레인에 붙어 있는 열린 끈이 부피 공간(영어: bulk)의 배경이 되는 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장(중력장, 캘브-라몽 장, 딜라톤 장)과 직접 결합하게 된다.

디랙-보른-인펠트 작용은 제곱근 속에 있는 항(G+B+2\pi\alpha'F))의 1차 도함수가 끈 길이 \sqrt{\alpha'}보다 매우 작을 때 믿을 수 있다. 즉, 게이지장 A_\mu 및 스칼라 \Phi의 2차 도함수와 캘브-라몽 장의 1차 도함수가 끈 길이보다 매우 작아야 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Born, Max, Leopold Infeld (1934년 3월 29일). Foundations of the New Field Theory. 《Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences》 144 (852): 425–451. doi:10.1098/rspa.1934.0059.
  2. Zwiebach, Barton (2009). 《A First Course in String Theory》, 2판, Cambridge University Press, 442쪽. doi:10.2277/0521880327. ISBN 0-521-88032-7
  3. Gibbons, Gary W. (1998년 3월 23일). Born-Infeld particles and Dirichlet p-branes. 《Nuclear Physics B》 514 (3): 603–639. doi:10.1016/S0550-3213(97)00795-5. arXiv:hep-th/9709027.
  4. Gibbons, Gary W. (2001년). Aspects of born-infeld theory and string/M-theory. 《American Institute of Physics Conference Proceedings》 589: 324–350. arXiv:hep-th/0106059. doi:10.1063/1.1419338.
  5. Leigh, R. (1989년). Dirac-Born-Infeld action from Dirichlet σ-model. 《Mod. Phys. Lett. A》 4 (28). doi:10.1142/S0217732389003099.