보른-인펠트 이론

보른-인펠트 이론(영어: Born-Infeld theory)은 비선형 전자기 이론의 하나다.

역사

막스 보른과 레오폴트 인펠트가 1934년에 도입하였다.

정의

보른-인펠트 이론의 작용은 다음과 같다.

$\mathcal{L}=-b^2\sqrt{-\det\left(\eta+{F\over b}\right)}+b^2$

여기서 $\eta$는 민코프스키 계량 텐서이며, F는 패러데이 텐서다. b는 척도 매개변수다.

3차원 벡터로 쓰면 작용은 다음과 같다.

$\mathcal{L}=-b^2\sqrt{1-\frac{E^2-B^2}{b^2}-\frac{(\mathbf E\cdot\mathbf B)^2}{b^4}}+b^2$

여기서 $\mathbf E$는 전기장, $\mathbf B$는 자기장이다.

특성

보른-인펠트 이론에서는 전자기장의 크기가 제약을 받는다. 정확히 말하면, 전기장 $\mathbf E$과 자기장 $\mathbf B$는 다음을 만족한다.

$E^2-B^2+(\mathbf E\cdot\mathbf B)^2/b^2\le b^2$.

즉, 만약 자기장이 없으면 ($\mathbf B=\mathbf 0$) 전기장의 최대값은 $b$이다.

$E\le b$.

또한, 만약 전자기장의 크기가 $b$보다 현저히 작다면 ($E,B\ll b$) 보른-인펠트 이론은 맥스웰 이론으로 수렴한다.

점전하의 자체 에너지

맥스웰 이론에서는 점전하의 자체 에너지가 발산한다. 역사적으로 보른과 인펠트는 전자의 자체 에너지가 맥스웰 이론에서 발산하는 문제를 풀기 위하여 보른-인펠트 이론을 도입하였다. 보른-인펠트 이론에서는 점전하의 전자기장 $\mathbf E$, $\mathbf B$가 유한하지만, 에너지 밀도는 발산하게 된다. 그러나 이 경우 총 에너지는 유한하다. 이러한 해를 바이온(BIon)이라고 한다. 여기서 "BI"는 "보른-인펠트"의 약자이다.

디랙-보른-인펠트 작용

끈 이론에서, 디리클레 브레인 위의 게이지 장은 위와 비슷한 꼴의 작용을 가지는데, 이를 디랙-보른-인펠트 작용(영어: Dirac–Born–Infeld action)이라고 부른다. 구체적으로, 그 작용은 다음과 같다.

$\mathcal{L}=-T_p\sqrt{-\det\left(\eta+2\pi\alpha'F\right)}$.

여기서 $T_p$는 디리클레 브레인의 장력(tension)이다. $F_{ab}$는 디리클레 브레인의 게이지 장세기로, 전자기론에서의 패러데이 텐서에 해당한다. $\alpha'$는 레제 기울기로, 끈 이론에 등장하는 상수다.

만약 여기에 캘브-라몽 장 $B_{ab}$와 딜라톤 $\Phi$를 추가하고, 중력장을 ($\eta$ 대신) 일반적으로 $G_{ab}$로 쓰면 다음과 같다.

$\mathcal L= -T_pe^{-\Phi} \sqrt{ \det (G+ B+ 2\pi\alpha'F)}$.

따라서 디리클레 브레인에 붙어 있는 열린 끈이 부피 공간(영어: bulk)의 배경이 되는 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장(중력장, 캘브-라몽 장, 딜라톤 장)과 직접 결합하게 된다.

디랙-보른-인펠트 작용은 제곱근 속에 있는 항($G+B+2\pi\alpha'F)$)의 1차 도함수가 끈 길이 $\sqrt{\alpha'}$보다 매우 작을 때 믿을 수 있다. 즉, 게이지장 $A_\mu$ 및 스칼라 $\Phi$의 2차 도함수와 캘브-라몽 장의 1차 도함수가 끈 길이보다 매우 작아야 한다.

참고 문헌

• (영어) Chernitskii, Alexander A. (2004). 〈Born-Infeld equations〉, 《Encyclopedia of Nonlinear Science》. New York, London: Routledge, 67–69쪽. arXiv:hep-th/0509087. ISBN 978-1-57958-385-9
• (영어) Ketov, Sergei V. (2001년). Many faces of Born-Infeld theory. arXiv:hep-th/0108189.
• (영어) Tseytlin, Arkady A. (2000년 7월). 〈Born-Infeld action, supersymmetry and string theory〉, 《The Many Faces Of The Superworld: Yuri Golfand Memorial Volume》. Singapore: World Scientific, 417–452쪽. doi:10.1142/9789812793850_0025. arXiv:hep-th/9908105. ISBN 978-981-02-4206-0
• (영어) Simón, Joan (2012년). Brane Effective Actions, Kappa-Symmetry and Applications. 《Living Reviews in Relativity》 15: 3. arXiv:1110.2422.
• (영어) Johnson, Clifford Victor (2006년 11월). 〈§5.3 The Dirac–Born–Infeld action〉, 《D-Branes》. Cambridge University Press, 135쪽. doi:10.1017/CBO9780511606540. ISBN 9780521809122
• (스페인어) Silva, Guillermo A. (2000년). 《Acción de Born-Infeld y supersimetría》, 박사 학위 논문, 쿠요 국립 대학교. arXiv:hep-th/0012267. Bibcode: 2000hep.th...12267S