T-이중성

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T-이중성과 S-이중성은 서로 다른 것처럼 보이는 초끈 이론들을 서로 연관짓는다. T-이중성에 따라, IIA형과 IIB형 초끈 이론이 서로 동형이고, E8×E8과 SO(32) 잡종 끈 이론이 서로 동형이다.

끈 이론에서, T-이중성 또는 과녁 공간 이중성(target space duality)은 서로 다른 두 시공간 (과녁 공간) 위의 끈 이론이 서로 같은 현상이다.[1][2][3]:187–248[4]:232–281 대략, 끈의 길이보다 아주 작은 차원은 끈의 길이보다 아주 큰 차원과 동등하다. 따라서, 끈 이론에서의 시공간은 점입자 이론에서의 시공간과 근본적으로 다르고, 매우 짧은 길이와 매우 긴 길이에 대한 차이가 사라진다.

역사[편집]

오사카 대학의 깃카와 게이지(吉川 圭二 (きっかわ けいじ))와 야마자키 마사미(山崎 眞見 (やまざき まさみ))가 1984년에[5], 도쿄 공업대학의 사카이 노리스케(坂井典佑 (さかいのりすけ))와 센다 이쿠오(仙田郁夫 (せんだいくお))가 1986년에[6] 초기적인 형태로 도입하였다. 토머스 부셔(Thomas Henry Buscher)[7][8][9]와 마르틴 로체크(Martin Roček), 에리크 페터르 페를린더(Erik Peter Verlinde)[10]가 이를 개량하고 확장하였다.

오늘날에는 이와 같은 가환(Abelian) T-이중성 말고도, 이를 일반화한 비가환 T-이중성[11]과 페르미온 T-이중성[12][13]이 알려져 있다. 또한, 거울 대칭도 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.[14]

정의[편집]

원기둥축소화닫힌 보손 끈을 생각하자. 축소 차원의 크기가 2\pi R이라고 하자. 그렇다면 축소 차원에서의 운동량1/R의 단위로 양자화된다.

p=n/R, n\in\mathbb Z

끈은 또한 축소 차원에 따라 (점입자와 달리) 감길 수 있다. 닫힌 끈의 경우, 축소차원에 따라 감긴 수를 감음수(winding number) w라고 부른다.

닫힌 끈의 감음수. 시계방향으로 감기면 음수, 시계반대방향으로 감기면 양수로 친다.

그렇다면 끈의 질량은 다음과 같다.


m^2=\frac{n^{2}}{R^{2}}+w^{2}R^{2}+2\left(N+\tilde{N}-2\right)

여기서 N+\tilde N은 끈의 총 진동 모드의 수다. (\alpha'=1로 놓자.) 따라서

R\leftrightarrow 1/R\quad n\leftrightarrow w

와 같이 바꾸면 끈의 질량 스펙트럼이 같은 것을 알 수 있다. 또한 마찬가지로 끈의 상호작용도 같다는 사실을 보일 수 있다.

끈 이론에서는 T-이중성으로 인하여 매우 작은 차원이 매우 큰 차원과 동등하다. 이는 이론의 질량 스펙트럼으로 확인할 수 있다.

열린 끈과 D-막의 T-이중성[편집]

열린 끈의 경우, 노이만 경계 조건디리클레 경계 조건에 대응됨을 알 수 있다. 따라서 이론에 디리클레 경계조건과 D-막을 포함하여야 한다. 이에 따라, Dp-막은 (축소화하는 방향에 따라서) Dp-막 또는 D(p-1)-막에 대응된다.

여러 차원의 축소화[편집]

여러 개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 더 커진다.[4]:246–255[3]:265–286 k개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 \operatorname O(k,k,\mathbb Z)이다. 이 군은 다음 성질을 만족하는 2k\times2k 정사각행렬 M들의 군이다.

초끈 이론에서의 T-이중성[편집]

초끈 이론에서는 T-이중성은 IIA와 IIB종 이론, HE와 HO 이론을 각각 서로 연관짓는다.

I종 끈 이론은 T-이중성 변환을 하면 D-막에 의하여 (10차원) 푸앵카레 대칭이 깨지게 된다. 이 이론을 I′종 이론(Type I′) 또는 IA종 이론(Type IA)이라고 한다.[15][3]:224–226 이 이론은 IIA종 끈 이론에 오리엔티폴드 사영을 가한 것으로 볼 수 있다. IIA종 끈 이론에서는 오른쪽 및 왼쪽 모드가 서로 반대 손지기(chirality)를 가지므로, 사영을 하려면 의 반전 \Omega와 축소 차원에 대한 반사를 합성한 연산에 대하여 사영하여야 한다. 이에 따라 I′종 이론은 두 개의 O8-평면을 가지고, 또한 T-이중성에 따라서 32개의 D8-막을 가진다.

초중력의 T-이중성[편집]

초끈 이론의 저에너지 극한은 초중력이론이다. IIA 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 IIA 초중력이고, IIB 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 IIB 초중력이다. 이 경우, T-이중성에 의하여 10차원 IIA 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 9차원 \mathcal N=2 초중력과 IIB 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 \mathcal N=2 초중력은 서로 같다. 즉, 비축소화 IIA와 IIB 이론들은 하나의 축소화 초중력 모듈러스 공간의 경계에 위치해 있다.

그 자세한 대응성은 다음과 같다. 10차원 IIA 초중력의 보손 장과 10차원 중 한 차원을 축소화하여 얻는 9차원 장들은 다음과 같다.

IIA 10차원 장 축소화 뒤 9차원 장들
중력장 중력장, 벡터장, 스칼라장
캘브-라몽 2차 형식 2차 형식, 벡터장
딜라톤 스칼라장
라몽-라몽 1차 형식 벡터장, 스칼라장
라몽-라몽 3차 형식 3차 형식, 2차 형식
합계 중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)

IIB 초중력의 보손 장과 이를 축소화하여 얻는 장들은 다음과 같다.

IIB 10차원 장 축소화 뒤 9차원 장들
중력장 중력장, 벡터장, 스칼라장
캘브-라몽 2차 형식 2차 형식, 벡터장
딜라톤 스칼라장
라몽-라몽 0차 형식 스칼라장
라몽-라몽 2차 형식 2차 형식, 벡터장
라몽-라몽 4차 형식 3차 형식
합계 중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)

(IIB 라몽-라몽 4차 형식은 자기쌍대(self-dual)이므로, 축소화하면 4차 형식을 남기지 않는다.)

따라서 9차원으로 축소화하면 9차원 보손 장들의 종류와 개수가 같아지는 것을 알 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Giveona, Amit, Massimo Porratib, Eliezer Rabinovici (1994년 8월). Target space duality in string theory. 《Physics Reports》 244 (2–3): 77–202. doi:10.1016/0370-1573(94)90070-1. arXiv:hep-th/9401139. Bibcode1994PhR...244...77G.
  2. Álvarez, Enrique, Luis Álvarez-Gaumé, Yolanda Lozano (1995년 4월). An introduction to T-duality in string theory. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 31 (1–3): 1–20. doi:10.1016/0920-5632(95)00429-D. arXiv:hep-th/9410237. Bibcode1995NuPhS..41....1A.
  3. Becker, Katrin, Melanie Becker, John H. Schwarz (2006년 12월). 《String Theory and M-Theory: A Modern Introduction》. Cambridge University Press. doi:10.2277/0511254865. ISBN 978-0511254864
  4. Polchinski, Joseph (1998). 《String Theory, Volume 1: An introduction to the bosonic string》. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521633036. ISBN 978-0521633031
  5. Keiji Kikkawa, Masami Yamasaki (1984년 12월 20일). Casimir effects in superstring theories. 《Physics Letters B》 149 (4–5): 357–360. doi:10.1016/0370-2693(84)90423-4. Bibcode1984PhLB..149..357K.
  6. Norisuke Sakai, Ikuo Senda (1986년). Vacuum energies of string compactified on torus. 《Progress of Theoretical Physics》 75 (3): 692–705. doi:10.1143/PTP.75.692. Bibcode1986PThPh..75..692S.
  7. Buscher, T.H. (1985년 9월 19일). Quantum corrections and extended supersymmetry in new σ-models. 《Physics Letters B》 159 (2–3): 127-130. doi:10.1016/0370-2693(85)90870-6. Bibcode1985PhLB..159..127B.
  8. Buscher, T.H. (1987년 7월 30일). A symmetry of the string background field equations. 《Physics Letters B》 194 (1): 59-62. doi:10.1016/0370-2693(87)90769-6. Bibcode1987PhLB..194...59B.
  9. Buscher, T.H. (1988년 2월 18일). Path-integral derivation of quantum duality in nonlinear sigma-models. 《Physics Letters B》 201 (4): 466–472. doi:10.1016/0370-2693(88)90602-8. Bibcode1988PhLB..201..466B.
  10. Martin Roček, Erik Verlinde (1992년 4월 13일). Duality, quotients and currents. 《Nuclear Physics B》 373 (3): 630-646. arXiv:hep-th/9110053. doi:10.1016/0550-3213(92)90269-H. Bibcode1992NuPhB.373..630R.
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  12. Berkovits, Nathan, Juan Maldacena (2008년 9월 11일). Dual superconformal symmetry, and the amplitude/Wilson loop connection. 《Journal of High Energy Physics》 2008 (9): 62. arXiv:0807.3196. doi:10.1088/1126-6708/2008/09/062. Bibcode2008JHEP...09..062B.
  13. Ó Colgáin, Eoin (2012년 11월 20일). Fermionic T-duality: A snapshot review. 《International Journal of Modern Physics A: Particles and Fields, Gravitation, Cosmology》 27 (29): 1230032. arXiv:1210.5588. doi:10.1142/S0217751X12300323. Bibcode2012IJMPA..2730032O.
  14. Strominger, Andrew, Shing-Tung Yau, Eric Zaslow (1996년 11월 11일). Mirror symmetry is T-duality. 《Nuclear Physics B》 479 (1–2): 243–259. arXiv:hep-th/9606040. doi:10.1016/0550-3213(96)00434-8. Bibcode1996NuPhB.479..243S.
  15. Schwarz, John (2010년 7월). 〈Some properties of Type I′ string theory〉, 《The Many Faces Of The Superworld: Yuri Golfand Memorial Volume》. Singapore: World Scientific, 388–397쪽. doi:10.1142/9789812793850_0023. Bibcode1999hep.th....7061S. ISBN 978-981-02-4206-0

같이 보기[편집]

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