T-이중성

T-이중성과 S-이중성은 서로 다른 것처럼 보이는 초끈 이론들을 서로 연관짓는다. T-이중성에 따라, IIA형과 IIB형 초끈 이론이 서로 동형이고, E₈×E₈과 SO(32) 잡종 끈 이론이 서로 동형이다.

끈 이론에서, T-이중성 또는 과녁 공간 이중성(target space duality)은 서로 다른 두 시공간 (과녁 공간) 위의 끈 이론이 서로 같은 현상이다.^{:187–248:232–281} 대략, 끈의 길이보다 아주 작은 차원은 끈의 길이보다 아주 큰 차원과 동등하다. 따라서, 끈 이론에서의 시공간은 점입자 이론에서의 시공간과 근본적으로 다르고, 매우 짧은 길이와 매우 긴 길이에 대한 차이가 사라진다.

역사

오사카 대학의 깃카와 게이지(吉川 圭二 (きっかわ けいじ))와 야마자키 마사미(山崎 眞見 (やまざき まさみ))가 1984년에, 도쿄 공업대학의 사카이 노리스케(坂井典佑 (さかいのりすけ))와 센다 이쿠오(仙田郁夫 (せんだいくお))가 1986년에 초기적인 형태로 도입하였다. 토머스 부셔(Thomas Henry Buscher)와 마르틴 로체크(Martin Roček), 에리크 페터르 페를린더(Erik Peter Verlinde)가 이를 개량하고 확장하였다.

오늘날에는 이와 같은 가환(Abelian) T-이중성 말고도, 이를 일반화한 비가환 T-이중성과 페르미온 T-이중성이 알려져 있다. 또한, 거울 대칭도 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

정의

원기둥에 축소화한 닫힌 보손 끈을 생각하자. 축소 차원의 크기가 $2\pi R$이라고 하자. 그렇다면 축소 차원에서의 운동량은 $1/R$의 단위로 양자화된다.

$p=n/R$, $n\in\mathbb Z$

끈은 또한 축소 차원에 따라 (점입자와 달리) 감길 수 있다. 닫힌 끈의 경우, 축소차원에 따라 감긴 수를 감음수(winding number) $w$라고 부른다.

닫힌 끈의 감음수. 시계방향으로 감기면 음수, 시계반대방향으로 감기면 양수로 친다.

그렇다면 끈의 질량은 다음과 같다.

$m^2=\frac{n^{2}}{R^{2}}+w^{2}R^{2}+2\left(N+\tilde{N}-2\right)$

여기서 $N+\tilde N$은 끈의 총 진동 모드의 수다. ($\alpha'=1$로 놓자.) 따라서

$R\leftrightarrow 1/R\quad n\leftrightarrow w$

와 같이 바꾸면 끈의 질량 스펙트럼이 같은 것을 알 수 있다. 또한 마찬가지로 끈의 상호작용도 같다는 사실을 보일 수 있다.

끈 이론에서는 T-이중성으로 인하여 매우 작은 차원이 매우 큰 차원과 동등하다. 이는 이론의 질량 스펙트럼으로 확인할 수 있다.

열린 끈과 D-막의 T-이중성

열린 끈의 경우, 노이만 경계 조건이 디리클레 경계 조건에 대응됨을 알 수 있다. 따라서 이론에 디리클레 경계조건과 D-막을 포함하여야 한다. 이에 따라, D$p$-막은 (축소화하는 방향에 따라서) D$p$-막 또는 D$(p-1)$-막에 대응된다.

여러 차원의 축소화

여러 개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 더 커진다.^{:246–255:265–286} $k$개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 $\operatorname O(k,k,\mathbb Z)$이다. 이 군은 다음 성질을 만족하는 $2k\times2k$ 정사각행렬 $M$들의 군이다.

• $M$은 유니모듈라 행렬(unimodular matrix)이다. 즉, $M$의 모든 성분은 정수이며, $M^{-1}$이 존재하고, $M^{-1}$의 모든 성분도 정수이다.
• $M$은 계량 부호수가 $(k,k)$인 계량 텐서에 대한 직교행렬이다. 즉, $\Omega=\begin{pmatrix} 0_n&I_n\\ I_n&0_n \end{pmatrix}$ ($I_n$은 $n\times n$ 단위행렬, $0_n$은 $n\times n$ 영행렬)이면, $M^\top\Omega M=\Omega$이다.

초끈 이론에서의 T-이중성

초끈 이론에서는 T-이중성은 IIA와 IIB종 이론, HE와 HO 이론을 각각 서로 연관짓는다.

I종 끈 이론은 T-이중성 변환을 하면 D-막에 의하여 (10차원) 푸앵카레 대칭이 깨지게 된다. 이 이론을 I′종 이론(Type I′) 또는 IA종 이론(Type IA)이라고 한다.^:224–226 이 이론은 IIA종 끈 이론에 오리엔티폴드 사영을 가한 것으로 볼 수 있다. IIA종 끈 이론에서는 오른쪽 및 왼쪽 모드가 서로 반대 손지기(chirality)를 가지므로, 사영을 하려면 향의 반전 $\Omega$와 축소 차원에 대한 반사를 합성한 연산에 대하여 사영하여야 한다. 이에 따라 I′종 이론은 두 개의 O8⁻-평면을 가지고, 또한 T-이중성에 따라서 32개의 D8-막을 가진다.

초중력의 T-이중성

초끈 이론의 저에너지 극한은 초중력이론이다. IIA 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 IIA 초중력이고, IIB 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 IIB 초중력이다. 이 경우, T-이중성에 의하여 10차원 IIA 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 9차원 $\mathcal N=2$ 초중력과 IIB 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 $\mathcal N=2$ 초중력은 서로 같다. 즉, 비축소화 IIA와 IIB 이론들은 하나의 축소화 초중력 모듈러스 공간의 경계에 위치해 있다.

그 자세한 대응성은 다음과 같다. 10차원 IIA 초중력의 보손 장과 10차원 중 한 차원을 축소화하여 얻는 9차원 장들은 다음과 같다.

IIA 10차원 장	축소화 뒤 9차원 장들
중력장	중력장, 벡터장, 스칼라장
캘브-라몽 2차 형식	2차 형식, 벡터장
딜라톤	스칼라장
라몽-라몽 1차 형식	벡터장, 스칼라장
라몽-라몽 3차 형식	3차 형식, 2차 형식
합계	중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)

IIB 초중력의 보손 장과 이를 축소화하여 얻는 장들은 다음과 같다.

IIB 10차원 장	축소화 뒤 9차원 장들
중력장	중력장, 벡터장, 스칼라장
캘브-라몽 2차 형식	2차 형식, 벡터장
딜라톤	스칼라장
라몽-라몽 0차 형식	스칼라장
라몽-라몽 2차 형식	2차 형식, 벡터장
라몽-라몽 4차 형식	3차 형식
합계	중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)

(IIB 라몽-라몽 4차 형식은 자기쌍대(self-dual)이므로, 축소화하면 4차 형식을 남기지 않는다.)

따라서 9차원으로 축소화하면 9차원 보손 장들의 종류와 개수가 같아지는 것을 알 수 있다.

같이 보기

• 거울 대칭
• S-이중성
• M이론

바깥 고리

• Tong, David (2007년 2월 19일). Quantum geometry: What the string saw (PDF). (케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 강의 슬라이드)
• Gabella, Maxime (2008). Topics in T-duality.
• Yin, Xi. Notes on D-branes and dualities.