동차좌표

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사영기하학에서, 동차좌표(同次座標, 영어: homogeneous coordinates)는 n차원 사영공간n+1개의 좌표로 나타내는 좌표계다.

정의[편집]

n차원 사영공간은 다음과 같이 정의할 수 있다. X실수, 복소수, 또는 사원수의 대수라고 하고, (n+1)개의 수의 순서쌍의 집합 X^{n+1}에 다음과 같은 동치관계를 주자.

(x_0,x_1,\dots,x_n)\sim(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n) (0\ne \lambda\in X)

그렇다면 n차원 사영공간 XP^n몫공간으로 정의할 수 있다.

XP^n\cong(X^{n+1}\setminus0)/\sim

이 경우, (x_0,x_1,\dots,x_n)XP^n동차좌표라고 한다.

성질[편집]

동차좌표는 유일하지 않다. 즉, (x_0,x_1,\dots,x_n)(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)은 사영공간에서 같은 점을 나타낸다. 다음과 같이

t_i=x_n/x_0 (1\le i\le n)

을 정의하여 n차원 사영공간을 n개의 좌표로 나타내려 할 수 있지만, 이 경우 x_0=0인 점들을 나타내지 못한다.

동차좌표는 유일하지 않으므로, 사영공간 위에 f(x_0,x_1,\dots,x_n)=0과 같은 곡면을 정의하려면, f는 같은 점을 나타내는 동차좌표들에 대하여 다음을 만족하여야 한다.

  • f(x_0,x_1,\dots,x_n)=0이라면, 모든 \lambda\ne0에 대하여 f(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)=0
  • f(x_0,x_1,\dots,x_n)\ne0이라면, 모든 \lambda\ne0에 대하여 f(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)=\ne0

만약 f다항함수라면, f동차다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어

f_1(x_0,x_1)=x_0^3+3x_0^2x_1-x_0x_1^2+2x_1^3

는 동차다항식이므로 사영공간 위에 곡면 f_1=0을 정의할 수 있지만,

f_2(x_0,x_1)=x_0^2+3x_0^2x_1-x_0x_1^2+2x_1^3

는 동차다항식이 아니므로 곡면 f_2=0을 정의할 수 없다.

역사[편집]

아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]