동차좌표

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

사영기하학에서, 동차좌표(同次座標, 영어: homogeneous coordinates)는 n차원 사영 공간n+1개의 좌표로 나타내는 좌표계다.

정의[편집]

n차원 사영 공간은 다음과 같이 정의할 수 있다. X실수, 복소수, 또는 사원수의 대수라고 하고, (n+1)개의 수의 순서쌍의 집합 X^{n+1}에 다음과 같은 동치관계를 주자.

(x_0,x_1,\dots,x_n)\sim(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n) (0\ne \lambda\in X)

그렇다면 n차원 사영 공간 XP^n몫공간으로 정의할 수 있다.

XP^n\cong(X^{n+1}\setminus0)/\sim

이 경우, (x_0,x_1,\dots,x_n)XP^n동차좌표라고 한다.

성질[편집]

동차좌표는 유일하지 않다. 즉, (x_0,x_1,\dots,x_n)(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)은 사영 공간에서 같은 점을 나타낸다. 다음과 같이

t_i=x_n/x_0 (1\le i\le n)

을 정의하여 n차원 사영 공간을 n개의 좌표로 나타내려 할 수 있지만, 이 경우 x_0=0인 점들을 나타내지 못한다.

동차좌표는 유일하지 않으므로, 사영 공간 위에 f(x_0,x_1,\dots,x_n)=0과 같은 곡면을 정의하려면, f는 같은 점을 나타내는 동차좌표들에 대하여 다음을 만족하여야 한다.

  • f(x_0,x_1,\dots,x_n)=0이라면, 모든 \lambda\ne0에 대하여 f(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)=0
  • f(x_0,x_1,\dots,x_n)\ne0이라면, 모든 \lambda\ne0에 대하여 f(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)=\ne0

만약 f다항함수라면, f동차다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어

f_1(x_0,x_1)=x_0^3+3x_0^2x_1-x_0x_1^2+2x_1^3

는 동차다항식이므로 사영 공간 위에 곡면 f_1=0을 정의할 수 있지만,

f_2(x_0,x_1)=x_0^2+3x_0^2x_1-x_0x_1^2+2x_1^3

는 동차다항식이 아니므로 곡면 f_2=0을 정의할 수 없다.

역사[편집]

아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (1997년 1월). “August Ferdinand Möbius” (영어). 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교. 
  2. Möbius, August Ferdinand (1827). 《Der barycentrische Calcul, ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbesondere auf die Bildung neuer Classen von Aufgaben und die Entwickelung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet》 (독일어). Leipzig: Verlag von Johann Ambrosius Barth.