일반화 복소다양체

미분기하학에서 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)는 복소다양체와 심플렉틱 다양체의 공통적인 일반화이다. 물리학적으로, 캘브-라몽 장 $B$가 존재하는 IIB 초끈 이론 축소화를 나타낸다.

정의

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반화 개복소구조(一般化槪複素構造, 영어: generalized almost complex structure)는 실수 벡터 다발 $TM\oplus T^{*}M$ 위의 개복소구조이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 다발 사상 $J\colon \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M$이다.

• $J^{2}=-\operatorname {id}$
• $\langle J(X+\xi ),J(Y+\eta )\rangle =\langle X,\eta \rangle +\langle Y,\xi \rangle$

여기서 $\langle ,\rangle$는 부호수 $(n,n)$의 자연스러운 내적 사상이다. 일반화 개복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 개복소다양체(一般化槪複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다.

일반화 개복소다양체 위의 일반화 정칙접다발(영어: generalized holomorphic tangent bundle)은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다.

$E=\{X+\xi \in \Gamma ((\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M)\otimes \mathbb {C} )\colon J(X+\xi )=\mathrm {i} (X+\xi )\}$

이에 따라

$(\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M)\otimes C\cong E\oplus {\bar {E}}$

가 된다.

$\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M$의 두 매끄러운 단면 $X+\xi$, $Y+\eta$에 대하여, 다음과 같이 쿠란트 괄호(Courant括弧, 영어: Courant bracket)를 정의하자.

$[X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(\langle X,\eta \rangle -\langle Y,\xi \rangle )$

여기서 ${\mathcal {L}}_{X}$는 리 미분이며, $d$는 외미분이다.

일반화 개복소구조 가운데, $E$의 매끄러운 단면들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 일반화 복소구조(一般化複素構造, 영어: generalized complex structure)라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다.

순수 스피너

 이 부분의 본문은 순수 스피너입니다.

$n$차원 실수 벡터 공간 $V$가 주어졌을 때, $V\oplus V^{*}$ 위에는 자연스러운 $\operatorname {SO} (n,n)$ 구조가 존재한다. 이 경우, 리 대수의 작용은

${\mathfrak {so}}(V\oplus V^{*})\cong {\mathfrak {gl}}(V;\mathbb {R} )\oplus \bigwedge ^{2}V^{*}\oplus \bigwedge ^{2}V$

이다.

$V\oplus V^{*}$는 외대수 $\textstyle \bigwedge ^{\bullet }V^{*}$ 위에 다음과 같은 작용을 갖는다.

$(X+\eta )\cdot \phi =\iota (X)\phi +\xi \wedge \phi$

이 경우

$(X+\eta )\cdot \left((X+\eta )\cdot \phi \right)=\langle X,\eta \rangle \phi$

이며, 이는 디랙 행렬과 같은 형태이다. 이를 사용하여, $V\oplus V^{*}$의 디랙 스피너 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

$\Delta (V\oplus V^{*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{\bullet }V^{*}$

이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 바일 스피너 공간의 직합으로 나타낼 수 있다.

$\Delta (V\oplus V^{*})=\Delta ^{+}(V\oplus V^{*})\oplus \Delta ^{-}(V\oplus V^{*})$

$\Delta ^{+}(V\oplus V^{*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{2\bullet }V^{*}$

$\Delta ^{-}(V\oplus V^{*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{2\bullet +1}V^{*}$

스피너 $\phi \in \Delta ^{\pm }(V\oplus V^{*})$ 가운데,

$\dim \ker(\cdot \phi )=\dim\{X+\eta \in V\oplus V^{*}\colon (X+\eta )\cdot \phi =0\}=n$

인 것을 $V\oplus V^{*}$의 순수 스피너(純粹spinor, 영어: pure spinor)라고 한다.

이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다.

일반화 칼라비-야우 다양체

매끄러운 다양체 $M$의 일반화 접다발 $\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M$이 자명한 순수 스피너 복소수 선다발을 갖는다면, $(M,E)$를 일반화 칼라비-야우 다양체라고 한다. 즉,

$\phi \in \Omega ^{\pm }M\otimes \mathbb {C}$

가 $\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M$의 순수 스피너이며, $d\phi =0$이며, 또한 모든 곳에서 $\langle \phi ,{\bar {\phi }}\rangle \neq 0$이라면 $M$은 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

일반화 칼라비-야우 다양체 $(M,\phi )$가 주어졌을 때, $\ker(\cdot \phi )\subset (\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M)\otimes \mathbb {C}$은 $M$위의 일반화 복소구조를 정의한다. 즉, 모든 일반화 칼라비-야우 다양체는 일반화 복소다양체를 이룬다.

예

복소다양체

모든 복소다양체는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 칼라비-야우 다양체는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수 $k$차원 복소다양체 $M$의 경우, $E$는 정칙 벡터장 및 $(1,0)$-복소수 미분 형식들의 다발의 직합이다.

$E=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \Omega ^{1,0}M$

이 경우, 순수 스피너는 $(k,0)$-복소수 미분 형식이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식 $\Omega \in \Gamma (\Omega ^{k,0}M)$이 존재하므로 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

심플렉틱 다양체

모든 심플렉틱 다양체 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. $2k$차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$가 주어졌을 때, 순수 스피너는 다음과 같은 꼴의 복소수 미분 형식이다.

$\exp(\mathrm {i} \omega )f\qquad (f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} ))$

순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.

$X-\mathrm {i} \omega (X,-)\qquad (X\in \Gamma (\mathrm {T} M))$

역사

나이절 히친이 2002년에 거울 대칭을 다루기 위하여 도입하였다. 이후 히친의 박사 과정 학생인 마르코 괄티에리(이탈리아어: Marco Gualtieri)가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다.

참고 문헌

• Gualtieri, Marco (2007). “Generalized complex geometry” (영어). arXiv:math/0703298. Bibcode:2007math......3298G. 
• Graña, Mariana (2006). “Flux compactifications in string theory: a comprehensive review”. 《Physics Reports》 (영어) 423: 91-158. arXiv:hep-th/0509003. Bibcode:2006PhR...423...91G. doi:10.1016/j.physrep.2005.10.008. 

외부 링크

• “Generalized complex geometry”. 《nLab》 (영어). 
• “Generalized Calabi-Yau manifold”. 《nLab》 (영어). 
• “Generalized tangent bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Generalized vielbein”. 《nLab》 (영어). 
• “Generalized G2-manifold”. 《nLab》 (영어). 
• “Exceptional generalized geometry”. 《nLab》 (영어).