하르 측도

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

해석학에서, 하르 측도(Haar measure)는 특수한 위상군 위에 정의할 수 있는, 군의 구조를 따르는 측도다.

역사[편집]

하르 얼프레드(헝가리어: Haar Alfréd)가 1933년 도입하였다.[1] 하르는 제2 가산 공간의 경우에 하르 측도의 존재를 증명하였다. 앙드레 베유가 1940년 일반적인 하우스도르프 공간의 경우에 대하여 선택 공리를 사용하여 증명하였고,[2] 앙리 카르탕은 같은 정리를 선택 공리를 사용하지 않고 증명하였다.[3]

정의[편집]

G국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이라고 하자. 이 군에 콤팩트 집합들로 생성되는 시그마 대수 \mathcal K를 부여하여 가측공간 (G,\mathcal K)로 만들 수 있다.

하르 정리(Haar's theorem)에 따르면, 가측공간 (G,\mathcal K) 위에 다음을 만족하는 측도 \mu가 존재한다.

  • (비자명성) \mu(S)\ne0가측집합 S가 존재한다.
  • (왼쪽 곱셈과의 호환) \mathcal S가 가측집합이고, g\in G이면 \mu(gS)=\mu(S)이다.
  • (콤팩트 공간의 유한성) K콤팩트 집합이라면 \mu(K)<\infty이다.
  • (외부 규칙성) S가 가측집합이면 S를 부분집합으로 가지는 열린 가측집합들의 측도의 하한S의 측도와 같다.
  • (내부 규칙성) U가 열린 가측집합이라면 U콤팩트 부분집합들의 측도의 상한U의 측도와 같다.

이 조건들을 모두 만족하는 측도를 하르 측도라고 한다. 또한, \mu\mu'가 각각 하르 측도라면 \mu=s\mu'인 실수 s가 존재한다. 즉, 하르 측도는 곱셈상수를 제외하고는 유일하다.

(내부 규칙성은 일반적 가측집합에 대하여 성립하지 않지만 외부 규칙성은 임의의 가측집합에 대하여 성립한다.)

참고 문헌[편집]

  1. Haar, A. (1933-01). “Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen” (독일어). 《Annals of Mathematics》. 2 34 (1): 147–169. doi:10.2307/1968346. JSTOR 1968346. 
  2. Weil, André (1940). 《L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications》 (프랑스어). Actualités Scientifiques et Industrielles 869. Paris: Hermann. 
  3. Cartan, Henri (1940). “Sur la mesure de Haar” (프랑스어). 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris》 211: 759–762. 
  • Nachbin, Leopoldo (1965). 《The Haar Integral》. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 

바깥 고리[편집]