하르 측도

해석학에서, 하르 측도(Haar measure)는 특수한 위상군 위에 정의할 수 있는, 군의 구조를 따르는 측도다.

역사

하르 얼프레드(헝가리어: Haar Alfréd)가 1933년 도입하였다. 하르는 제2가산공간의 경우에 하르 측도의 존재를 증명하였다. 앙드레 베유가 1940년 일반적인 하우스도르프 공간의 경우에 대하여 선택 공리를 사용하여 증명하였고, 앙리 카르탕은 같은 정리를 선택 공리를 사용하지 않고 증명하였다.

정의

$G$가 국소 컴팩트 하우스도르프 위상군이라고 하자. 이 군에 컴팩트 집합들로 생성되는 시그마 대수 $\mathcal K$를 부여하여 가측공간 $(G,\mathcal K)$로 만들 수 있다.

하르 정리(Haar's theorem)에 따르면, 가측공간 $(G,\mathcal K)$ 위에 다음을 만족하는 측도 $\mu$가 존재한다.

• (비자명성) $\mu(S)\ne0$인 가측집합 $S$가 존재한다.
• (왼쪽 곱셈과의 호환) $\mathcal S$가 가측집합이고, $g\in G$이면 $\mu(gS)=\mu(S)$이다.
• (컴팩트 공간의 유한성) $K$가 컴팩트 집합이라면 $\mu(K)<\infty$이다.
• (외부 규칙성) $S$가 가측집합이면 $S$를 부분집합으로 가지는 열린 가측집합들의 측도의 최대하계는 $S$의 측도와 같다.
• (내부 규칙성) $U$가 열린 가측집합이라면 $U$의 컴팩트 부분집합들의 측도의 최소상계는 $U$의 측도와 같다.

이 조건들을 모두 만족하는 측도를 하르 측도라고 한다. 또한, $\mu$와 $\mu'$가 각각 하르 측도라면 $\mu=s\mu'$인 실수 $s$가 존재한다. 즉, 하르 측도는 곱셈상수를 제외하고는 유일하다.

(내부 규칙성은 일반적 가측집합에 대하여 성립하지 않지만 외부 규칙성은 임의의 가측집합에 대하여 성립한다.)

참고 문헌

• Nachbin, Leopoldo (1965). 《The Haar Integral》. Princeton, NJ: D. Van Nostrand
• (영어) Eric W. Weisstein, Mohammad Sal Moslehian. Haar measure. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.