파울리 행렬

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파울리 행렬이란 양자역학에서 스핀을 표현하는 데 쓰이는 행렬로 에르미트 행렬 이면서 유니타리 행렬인 다음과 같은 2 x 2 복소행렬을 말한다.

$\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.$

보통 그리스 문자 시그마(σ)로 나타내며 아이소스핀 대칭성과 연관되어 사용될때는 타우(τ)로도 자주 나타낸다. 이 행렬들의 이름은 물리학자 볼프강 파울리의 이름을 따와 명명되었다.

[편집] 수학적 성질

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리행렬이다.

$\sigma_i^\dagger = \sigma_i$ : 에르미트 행렬

$\sigma_i^\dagger \sigma_i = I$ : 유니타리행렬

여기서 $I$ 는 단위행렬이다.

증명 : 파울리 행렬은 에르미트 행렬이다.
$\sigma_1^\dagger = \begin{pmatrix} 0&\bar{1}\\ \bar{1}&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} = \sigma_1$ $\sigma_2^\dagger = \begin{pmatrix} 0&\bar{i}\\ \bar{-i}&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} =\sigma_2$ $\sigma_2^\dagger = \begin{pmatrix} \bar{1}&0\\ 0&\bar{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} =\sigma_3$

증명 : 파울리 행렬은 유니타리행렬이다.

파울리 행렬은 에르미트 행렬이기도 하므로,

$\sigma_i^\dagger = \sigma_i$

이다. 따라서 파울리 행렬이 유니타리행렬이라는 것은 다음과 동치이다.

$\sigma_i^2 = I$

위의 증명은 아래와 같다.

$\sigma_1^2 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1 & 0+0\\ 0+0 & 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} =I$

$\sigma_2^2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+(-i)\times i & 0 + 0 \\ 0 +0 &i \times (-i) + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{pmatrix} = I$

$\sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 0+0\\ 0+0 & 0+(-1)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} =I$

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다.

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = I$

파울리 행렬의 행렬식과 대각합의 값은 다음과 같다.

$\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{for}\ i = 1, 2, 3 \end{matrix}$

이로부터, 파울리행렬의 고유값은 ±1 임을 알 수 있다.

파울리 행렬은 다음과 같은 교환관계와 반대바꿈관계를 가진다.

$\begin{matrix} [\sigma_a, \sigma_b] &=& 2 i \sum_c \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c \\[1ex] \{\sigma_a, \sigma_b\} &=& 2 \delta_{a b} \cdot I \end{matrix}$

여기서 ε_abc는 레비-치비타 기호, δ_ab는 크로네커 델타를 말한다.

위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다.

$\sigma_a \sigma_b = \delta_{ab} \cdot I + i \sum_c \varepsilon_{abc} \sigma_c \,$ .

예를 들어, 몇몇 값을 구해보면

$\begin{matrix} \sigma_1\sigma_2 &=& i\sigma_3,\\ \sigma_2\sigma_3 &=& i\sigma_1,\\ \sigma_2\sigma_1 &=& -i\sigma_3,\\ \sigma_1\sigma_1 &=& I.\\ \end{matrix}$

이다.

또한, 위 행렬 3개를 한번에 벡터로 모아 파울리 벡터(Pauli vector)로 사용하기도 하는데, 자세한 정의는 다음과 같다.

$\bold{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,$

교환관계식을 이용하면 파울리 벡터와 교환법칙이 성립하는 임의의 벡터 a와 b에 대해 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다.

$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i \mathbf{\sigma} \cdot ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) \quad \quad \quad \quad \,$

증명

$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) \,$	$= a_i \sigma_i b_j \sigma_j \,$
	$= a_i b_j \sigma_i \sigma_j \,$
	$= a_i b_j \left( \delta_{ij} \cdot I+ i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \right) \,$
	$= a_i b_j \delta_{ij} \cdot I+ i \sigma_k \varepsilon_{ijk} a_i b_j \,$
	$= \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} )\,$

또한, 임의의 벡터 a와 그 방향 단위벡터 $\textstyle \hat{n}$ , 그 벡터의 길이 a에 대해 아래의 관계가 성립한다.

$e^{i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \mathbf{\sigma}) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad$

증명

먼저 임의의 짝수에 대한 거듭제곱에 대해

$(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \,$

이 성립함을 알 수 있지만, 홀수에 대한 거듭제곱에 대해서는

$(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \,$

임을 알 수 있다. 이 두 사실과, 지수함수와 사인, 코사인 함수와의 관계

$e^{ix} \,$	$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n x^n}{n!}} \,$
	$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

를 이용하고 x에

$x = a (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \,$

을 대입하면,

$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{2n!}} + i (\hat{n}\cdot \vec{\sigma}) \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

을 얻는다. 여기서 왼쪽의 합은 코사인, 오른쪽의 합은 사인함수의 급수 형태임을 알 수 있다. 따라서,

$e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \,$

이다.

[편집] 리대수의 발생원

파울리 행렬은 $A 1$ 또는 su(2)의 리대수의 발생원이다, 즉

$[σ i / 2,σ j / 2] = 2ε i j k σ k / 2$

이므로 구조상수가 $ε i j k$ 이다.

[편집] 클리포드 대수의 발생원

파울리 행렬은 클리포드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디락-클리포드 연산법칙을 만족한다

${σ i,σ j} = δ i j$

따라서 I와 함께 2x2의 에르미트 행렬의 기저가 된다. 일반적인 n차원의 클리포드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 언제나 표현할 수 있다.

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