파울리 행렬

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수학물리학에서, 파울리 행렬(Pauli matrix)은 3차원 회전군의 생성원인 세 개의 2×2 복소 행렬이다. 기호는 \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3로, 다음과 같다.


\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.

파울리 행렬은 에르미트 행렬 이면서 유니타리 행렬이다. 수학적으로 회전 대칭의 리 대수\mathfrak{su}_2의 생성원이며, 양자역학에서 스핀이나 아이소스핀 등을 표현하는 데 쓰인다. 볼프강 파울리제이만 효과를 연구하기 위하여 1925년에 도입하였다.[1]

수학적 성질[편집]

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다.

\sigma_i^\dagger = \sigma_i  : 에르미트 행렬
\sigma_i^\dagger \sigma_i = I  : 유니타리 행렬

여기서 I단위행렬이다.

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다.

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = I

파울리 행렬의 행렬식대각합의 값은 다음과 같다.

\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{for}\ i = 1, 2, 3
\end{matrix}

이로부터, 파울리행렬의 고윳값은 ±1 임을 알 수 있다.

파울리 행렬은 다음과 같은 교환관계반대바꿈관계를 가진다.

\begin{matrix}
[\sigma_a, \sigma_b]     &=& 2 i \sum_c \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c \\[1ex]
\{\sigma_a, \sigma_b\} &=& 2 \delta_{a b} \cdot I
\end{matrix}

여기서 εabc레비치비타 기호, δab크로네커 델타이며, [\sigma_a, \sigma_b]리 괄호이다.

위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다.

\sigma_a \sigma_b = \delta_{ab} \cdot I + i \sum_c \varepsilon_{abc} \sigma_c \,.

예를 들어, 몇몇 값을 구해보면

\begin{matrix}
\sigma_1\sigma_2 &=& i\sigma_3,\\
\sigma_2\sigma_3 &=& i\sigma_1,\\
\sigma_2\sigma_1 &=& -i\sigma_3,\\
\sigma_1\sigma_1 &=& I.\\
\end{matrix}

이다.

또한, 위 행렬 3개를 한번에 벡터로 모아 파울리 벡터(Pauli vector)로 사용하기도 하는데, 자세한 정의는 다음과 같다.

\bold{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,

교환관계식을 이용하면 파울리 벡터와 교환법칙이 성립하는 임의의 벡터 ab에 대해 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다.

(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i \mathbf{\sigma} \cdot ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) \quad \quad \quad \quad \,

또한, 임의의 벡터 a와 그 방향 단위벡터 \textstyle \hat{n}, 그 벡터의 길이 a에 대해 아래의 관계가 성립한다.

e^{i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \mathbf{\sigma}) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad

리 대수의 발생원[편집]

파울리 행렬은 리 대수 \mathfrak{su}(2) (또는 \mathfrak a_1)의 발생원이다, 즉

 [\frac{\sigma^i}{2},\frac{\sigma^j}{2}] = 2 \epsilon^{ijk} \cdot \frac{\sigma^k}{2}

이므로, 그 구조 상수는 \epsilon^{ijk}이다.

클리퍼드 대수의 발생원[편집]

파울리 행렬은 클리퍼드 대수의 발생원이며, 다음과 같은 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족한다

 \{\sigma^i,\sigma^j \} = \delta^{ij}

따라서 단위행렬과 함께 2x2의 에르미트 행렬기저가 된다. 일반적인 n차원의 클리퍼드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 언제나 표현할 수 있다.

주석[편집]

  1. (독일어) Pauli, Wolfgang (1925년). Über den Einfluß der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt. 《Zeitschrift für Physik》 31 (1): 373–385. doi:10.1007/BF02980592. Bibcode1925ZPhy...31..373P.