행렬 지수 함수

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행렬 지수 함수(行列指數函數, matrix exponential)란 정사각행렬에 대한 일종의 지수 함수다.

정의[편집]

행렬 지수 함수 \exp\colon M_{n\times n}\to M_{n\times n}정사각행렬을 다른 정사각행렬로 보내는 행렬 함수다. 다음과 같은 급수로 정의한다.

\exp(X)=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}X^k.

이는 복소수 지수 함수의 테일러 급수 \exp(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}z^k 와 같은 꼴이다. 위의 급수는 항상 수렴하므로, 행렬 지수는 항상 존재한다.

성질[편집]

행렬 지수 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다. 여기서 대문자는 임의의 정사각행렬, 소문자는 임의의 복소수를 의미한다.

  • \exp(0)=I_{n\times n} (단위행렬)
  • 만약 XY-YX=0이면, \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)=\exp(Y)\exp(X).
    • 위 성질의 특수한 경우로, \exp(aX)\exp(bX)=\exp((a+b)X).
    • 단, 일반적으로 가환하지 않는 두 행렬의 경우 \exp(X)\exp(Y)\ne\exp(X+Y)\ne\exp(Y)\exp(X).
  • 만약 Y가역행렬이라면, Y\exp(X)Y^{-1}=\exp(YXY^{-1}).
  • \det\exp X=\exp\operatorname{tr}X.
    • 따라서, \det\exp X>0이고, 행렬 지수는 항상 가역행렬이다.

행렬 지수 함수를 미분방정식으로도 나타낼 수 있다. 즉, 다음 초기조건문제

\mathbf x'(t)=A\mathbf x(t)
\mathbf x(0)=\mathbf x_0

의 해는

\mathbf x(t)=\exp(At)\mathbf x_0

이다.

같이 보기[편집]

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