아이젠슈타인 정수

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아이젠슈타인 정수들은 복소평면에서 삼각 격자를 이룬다.

수론에서 아이젠슈타인 정수(영어: Eisenstein integer)는 아래의 꼴로 표현될 수 있는 복소수를 말한다. 독일 수학자 고트홀트 아이젠슈타인의 이름이 붙어 있다.

z =a + b\omega\qquad(a,b\in\mathbb Z)

여기서 \omega1의 세제곱근이다.

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

성질[편집]

아이젠슈타인 정수는 원분체 \mathbb Q[\omega]정수환이며, 유클리드 정역을 이룬다. 그 가역원군은 6개의 원소를 가지는 순환군이며, 다음과 같다.

\{\pm1,\pm\omega,\pm\omega^2\}

아이젠슈타인 소수[편집]

아이젠슈타인 소수

아이젠슈타인 정수들은 유클리드 정역이므로, 유일 소인수분해를 가진다. 이에 따른 소수들을 아이젠슈타인 소수(영어: Eisenstein prime)라고 한다. 이들은 다음과 같다. (편의상, 통상적인, 즉 \mathbb Z에서의 소수를 유리소수라고 하자.)

아이젠슈타인 정수 z=a+b\omega가 아이젠슈타인 소수일 필요충분조건은 다음과 같다.

  1. z가역원p\equiv2\pmod3인 유리소수 p의 곱과 같거나,
  2. 아니면 |z|^2=a^2-ab+b^2는 유리소수이다. (이 경우 항상 |z|^2\equiv0,1\pmod3이다.)

따라서, 아이젠슈타인 소수의 목록은 다음과 같다.

  • 갈리지 않는 (유리소수인) 아이젠슈타인 소수.
2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, … (OEIS의 수열 A3627)
  • 실수가 아닌 아이젠슈타인 소수
2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω, …

유리소수이지만 아이젠슈타인 소수가 아닌 수들은 다음과 같다.

3 = −(1 + 2ω)2, 7 = (3 + ω)(2 − ω), … (OEIS의 수열 A7645)

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]