피어츠 항등식 (Fierz identity )이란 두 스피너 쌍선형 형식 의 곱을 다른 스피너 쌍선형 형식 곱의 선형 결합 으로 나타내는 항등식이다. 스위스의 물리학자 마르쿠스 에두아르트 피어츠(Markus Eduard Fierz )가 도입하였다. 양자장론 에서 스피너로 나타내어지는 페르미온 을 다룰 때 쓴다.
디랙 스피너 [ 편집 ]
디랙 스피너의 피어츠 항등식은 다음 표에 의하여 주어진다. 여기서 S, V, T, A, P는 각각 스칼라 , 벡터 , 텐서 , 축벡터, 유사스칼라를 나타낸다.
S
V
T
A
P
S × S =
¼
¼
−¼
−¼
¼
V × V =
1
−½
0
−½
−1
T × T =
−1½
0
−½
0
−1½
A × A =
-1
−½
0
−½
1
P × P =
¼
−¼
−¼
¼
¼
예를 들어 벡터×벡터 곱의 피어츠 항등식은 다음과 같다.
(
χ
¯
γ
μ
ψ
)
(
ψ
¯
γ
μ
χ
)
=
(
χ
¯
χ
)
(
ψ
¯
ψ
)
−
1
2
(
χ
¯
γ
μ
χ
)
(
ψ
¯
γ
μ
ψ
)
−
1
2
(
χ
¯
γ
μ
γ
5
χ
)
(
ψ
¯
γ
μ
γ
5
ψ
)
−
(
χ
¯
γ
5
χ
)
(
ψ
¯
γ
5
ψ
)
.
{\displaystyle \left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi \right)=\left({\bar {\chi }}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma _{5}\psi \right)-\left({\bar {\chi }}\gamma ^{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{5}\psi \right).}
바일 스피너 [ 편집 ]
반가환 바일 스피너는 다음의 피어츠 항등식을 만족한다.
ξ
(
η
¯
ζ
)
+
η
(
ζ
¯
ξ
)
+
ζ
(
ξ
¯
η
)
=
0.
{\displaystyle \xi ({\bar {\eta }}\zeta )+\eta ({\bar {\zeta }}\xi )+\zeta ({\bar {\xi }}\eta )=0.}
(
ψ
σ
μ
ν
χ
)
(
ψ
′
σ
μ
ν
χ
′
)
=
−
2
(
ψ
χ
′
)
(
χ
ψ
′
)
−
(
ψ
χ
)
(
ψ
′
χ
′
)
{\displaystyle (\psi \sigma ^{\mu \nu }\chi )(\psi '\sigma _{\mu \nu }\chi ')=-2(\psi \chi ')(\chi \psi ')-(\psi \chi )(\psi '\chi ')}
(
ψ
¯
σ
¯
μ
ν
χ
¯
)
(
ψ
¯
′
σ
¯
μ
ν
χ
¯
′
)
=
−
2
(
ψ
¯
χ
¯
′
)
(
χ
¯
ψ
¯
′
)
−
(
ψ
¯
χ
¯
)
(
ψ
¯
′
χ
¯
′
)
{\displaystyle ({\bar {\psi }}{\bar {\sigma }}^{\mu \nu }{\bar {\chi }})({\bar {\psi }}'{\bar {\sigma }}_{\mu \nu }{\bar {\chi }}')=-2({\bar {\psi }}{\bar {\chi }}')({\bar {\chi }}{\bar {\psi }}')-({\bar {\psi }}{\bar {\chi }})({\bar {\psi }}'{\bar {\chi }}')}
(
ψ
σ
μ
ν
χ
)
(
ψ
¯
′
σ
¯
μ
ν
χ
¯
′
)
=
0
{\displaystyle (\psi \sigma ^{\mu \nu }\chi )({\bar {\psi }}'{\bar {\sigma }}_{\mu \nu }{\bar {\chi }}')=0}
.
참고 문헌 [ 편집 ]
Dreiner, H.K.; et al. (2008). “Two-component spinor techniques and Feynman rules for quantum field theory and supersymmetry” (영어). arXiv :0812.1594 .
LB Okun Leptons and Quarks §29.3.4. ISBN 978-0-444-86924-1