메르텐스 함수

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메르텐스 함수(Mertens function)는 다음과 같이 정의된다.

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

여기서 μ(k)는 뫼비우스 함수이다.

뫼비우스 함수의 값이 -1, 0, +1 뿐이기 때문에, 메르텐스 함수는 매우 느리게 움직이며 M(x) > xx가 없다는 것이 명확하다. 여기서 더 나아가서 메르텐스 추측M(x)는 x의 제곱근보다 항상 작거나 같다고 제안하였으나, 이 추측은 1985년에 거짓임이 판명되었다. 하지만 리만 가설M(x)의 증가에 대한 좀 더 약한 추측으로, M(x) = o(x^{\frac12 + \epsilon})임을 예측하고 있다. 적어도 M(x)가 x의 제곱근보다 큰 경우가 있기 때문에, 이 가설은 메르텐스 함수의 증가율의 더 정확한 한계를 제시한다.

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