뫼비우스 반전 공식

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수론에서의 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)은 19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다.

공식[편집]

g(n) 과 f(n)이 수론적 함수(arithmetic function)이며 1보다 큰 모든 n에 대해 다음이 성립한다고 하자.

g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)

이 때, 1보다 큰 모든 n에 대해 다음이 성립한다.

f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\mu(n/d)

여기서 \mu뫼비우스 함수(Möbius function)이고, 덧셈은 n의 양의 약수 d 전체에 대해 이루어진다.

수론적 함수 gf의 누적으로 이루어지는데, 역으로 g를 통해 f를 꺼내는 공식이므로 반전 공식이라 불린다.

fg가 자연수에서 어떤 가환군(abelian group)으로의 함수일 때에도 공식은 성립한다.

디리클레 합성곱과의 관계[편집]

디리클레 합성곱(Dirichlet convolution)을 사용하여 공식을 써 보면 다음과 같다.

g=f*1

여기서 * 는 디리클레 합성곱이고, 1은 모든 n에 대해 항상 1인 수론적 함수이다. 이 경우,

f=\mu * g.

가 성립한다. 즉, 뫼비우스 함수는 모든 함수값이 1인 수론적 함수의 역원이기 때문이다. 당연하게도

\mu * 1 = \epsilon

이 성립한다. 여기서 \epsilonn = 1일 때만 1이고 나머지는 모두 0인 수론적 함수이다. 다양한 수론적 함수의 계산의 예는 Apostol의 책을 참조하면 좋다.[1]

일반화[편집]

조합론(combinatorics)에서 자주 쓰이는 동치의 진술은 다음과 같다.

F(x)와 G(x)가 구간 [1,∞)에서 복소수로의 함수이고, 1보다 크거나 같은 모든 x에 대해

G(x) = \sum_{1 \le n \le x}F(x/n)

을 만족하면, 1보다 크거나 같은 모든 x에 대해

F(x) = \sum_{1 \le n \le x}\mu(n)G(x/n)

이 성립한다.

여기서 합은 x보다 작거나 같은 모든 양의 정수 n에 대해서 이루어진다.

주석[편집]

  1. Apostol, Tom (1998). 《Introduction to Analytic Number Theory》. Springer, 30~40쪽. ISBN 978-0-387-90163-3