근접 대수

이 문서는 순서론과 조합론에서, 결합 관계(영어: incidence)를 추상화한 대수적 구조에 관한 것입니다. 결합법칙(영어: associativity)을 만족시키는 일반적인 대수에 대해서는 대수 (환론) 문서를 참고하십시오.

순서론에서 근접 대수(近接代數, 영어: incidence algebra)는 부분 순서 집합에 대하여 정의된, 일반화 뫼비우스 반전 공식이 성립하는 단위 결합 대수이다.

정의

국소 유한 부분 순서 집합(영어: locally finite poset)은 모든 폐구간이 유한집합인 부분 순서 집합이다. 즉, 부분 순서 집합 $(P,\leq )$가 주어지고, 임의의 $a,b\in P$에 대하여 폐구간

$[a,b]=\{x\in P\colon a\leq x\leq b\}$

가 유한집합이라면, $(P,\leq )$를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.

국소 유한 부분 순서 집합 $(P,\leq )$와, (단위원을 갖는) 가환환 $R$가 주어졌다고 하고, ${\mathcal {C}}(P)\subset {\mathcal {P}}(P)$가 $P$ 속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자. $P$ 위의, $R$ 계수의 근접 대수 $I(P;R)$는 ${\mathcal {C}}(P)\to R$ 꼴의 함수들의 집합이다.

$f\in I(P;R)$에 대하여, 편의상 $f([a,b])=f(a,b)$로 쓰자. 또한, $f\in I(P;R)$는 일종의 행렬로 생각할 수 있다. 즉, $f(a,b)$를 (무한할 수 있는) 행렬

$(f)_{a,b}={\begin{cases}f(a,b)&a\leq b\\0&a\not \leq b\end{cases}}$

로 생각할 수 있다.

점별 덧셈과 곱셈

근접 대수 $I(P;R)$ 위에는 다음과 같은 $R$-대수 구조 및 합성곱을 정의할 수 있다.

• (덧셈) $(f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)$
• (곱셈) $(fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)$

덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수 $((I(P;R),+,\cdot )$는 $R$-가환 대수를 이룬다. 즉, $I(P;R)$는 가환환을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형

$R\hookrightarrow I(P;R)$

$r\mapsto ([a,b]\mapsto r)$

이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수

$\zeta \in I(P;R)$

$\zeta (a,b)=1\qquad \forall a,b\in P$

이며, 이를 제타 함수(영어: zeta function)라고 한다.

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱에 대응한다.

합성곱

또한, 근접 대수 $I(P;R)$ 위에는 합성곱(영어: convolution)이라는 다음과 같은 이항 연산 $*$이 존재한다.

$(f*g)(a,b)=\sum _{a\leq x\leq b}f(a,x)g(x,b)$

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉,

$(f*g)_{ab}=\sum _{x}f_{ax}g_{xb}$

가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다.

합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙을 따르지만, 일반적으로 교환 법칙은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 델타 함수 $\delta \in I(P;R)$이다.

$\delta (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\0&a\neq b\end{cases}}$

이는 일종의 단위 행렬이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수 $(I(P;R),+,*)$는 $R$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

체 계수의 근접 대수의 원소 $f\in I(P;R)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 합성곱 아래 역원을 갖는다.
• 임의의 $a\in P$에 대하여 $f(a,a)\neq 0$이다.

제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 뫼비우스 함수 $\mu \in I(P;R)$라고 하며 다음과 같다.

$\mu (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\-\sum _{a\leq x<b}\mu (a,x)&a<b\end{cases}}$

$\zeta *\mu =\mu *\zeta =\delta$

함수 위의 작용

국소 유한 부분 순서 집합 $P$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$|\{x\in P\colon a\leq x\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P$

($P$가 최대 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수 $(I(P;R),+,*)$는 $P$ 위의, $R$ 값을 갖는 함수의 집합 $R^{P}$ 위에 다음과 같이 작용한다.

$(f*\phi )(a)=\sum _{a\leq b}f(a,b)\phi (b)$

즉, $R^{P}$는 환 $(I(P;R),+,*)$의 왼쪽 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 $P$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$|\{x\in P\colon x\leq a\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P$

($P$가 최소 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수 $(I(P;R),+,*)$는 $P$ 위의, $R$ 값을 갖는 함수의 집합 $R^{P}$ 위에 다음과 같이 작용한다.

$(f*\phi )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)f(a,b)$

즉, $R^{P}$는 환 $(I(P;R),+,*)$의 오른쪽 가군을 이룬다.

만약

$\chi =f*\phi \qquad (\chi ,\phi \in R^{P},\;f\in I(P;R))$

이며, $f$가 합성곱 아래 역원을 갖는다면

$\phi =f^{-1}*\chi$

가 된다. 특히, 만약 $f=\zeta$일 경우 $f^{-1}=\mu$이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\chi (a)=(\zeta *\phi )(a)=\sum _{a\leq b}\phi (b)\iff \phi (a)=(\mu *\chi )(a)=\sum _{a\leq b}\mu (a,b)\chi (b)$

마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\chi (b)=(\phi *\zeta )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)\iff \phi (b)=(\chi *\mu )(b)=\sum _{a\leq b}\chi (a)\mu (a,b)$

이를 뫼비우스 반전 공식(영어: Möbius inversion formula)이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.

예

대표적인 근접 대수들은 다음과 같다. 아래 예들에서 계수환은 항상 $R=\mathbb {Z}$이다.

집합 $P$	부분 순서 $a\leq b$	뫼비우스 함수 $\mu (a,b)$	반전 공식
양의 정수의 집합 $\mathbb {Z} ^{+}$	$a$는 $b$의 약수: $a\mid b$	$\mu (b/a)$ ($\mu (r)$는 수론에서의 뫼비우스 함수)	뫼비우스 반전 공식
음이 아닌 정수의 집합 $\mathbb {N}$	$a\leq b$	${\begin{cases}1&a=b\\-1&a+1=b\\0&a+1<b\end{cases}}$	유한 차분의 기본 정리 $\Delta {\mathcal {I}}f=f$ ($\Delta f(n)=f(n)-f(n-1)$는 유한 차분, ${\mathcal {I}}f(n)=f(0)+f(1)+\cdots +f(n)$)
유한 집합 $E$의 멱집합 ${\mathcal {P}}(E)$	$a\subseteq b$	$(-1)^{|b\setminus a|}$	포함배제의 원리
유한 집합 $E$의 분할들의 집합	$a$가 $b$보다 더 세밀한 분할	$(-1)^{|a|-|b|}(2!)^{|b|_{3}}(3!)^{|b|_{4}}\cdots ((n-1)!)^{|b|_{|a|}}$. $|a|$는 $a$의 블록 수, $|b|$는 $b$의 블록 수, $|b|_{i}$는 정확하게 $i$개의 $a$-블록들을 포함하는 $b$-블록들의 수

역사

잔카를로 로타가 1964년 정의하였다.

참고 문헌

• Spiegel, Eugene; O’Donnell, Christopher J. (1997). 《Incidence algebras》. Pure and Applied Mathematics (영어) 206. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-0036-2. 
• Chen, Nanxian (2010년 4월). 《Möbius inversion in physics》. Tsinghua Report and Review in Physics (영어) 1. World Scientific. doi:10.1142/7560. ISBN 978-981-4291-62-0. 

외부 링크

• “Möbius inversion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.