페리 수열

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수론에서, 페리 수열(영어: Farey sequence)은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 n 을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • F_n:  0 \le h \le k \le n이고 \gcd(h,k)=1 을 만족하는 \frac{h}{k}를 오름차순으로 나열한 수열

한편, 페리 수열을 페리 급수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니기 때문에 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다.

성질[편집]

수열의 길이[편집]

n번째 페리 수열 F_n의 정의에 따라 F_n의 길이와 F_{n+1} 의 길이의 차이는, n+1보다 작으면서 동시에 n+1과 서로소인 자연수의 갯수와 같다. 따라서 페리 수열의 길이에 관한 점화식오일러 피 함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • |F_{n+1}| = |F_n| + \varphi(n+1)

즉, |F_n|은 계차가 \varphi(n)계차 수열이고 |F_1|=2이기 때문에, 시그마 기호를 사용하여 |F_n|의 일반항을 나타내면

  • |F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m)

이웃한 항[편집]

페리 수열 F_n의 연속된 두 항을 각각 순서대로 h_1/k_1, h_2/k_2 라고 하면,

 k_1h_2-k_2h_1=1

따라서 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현할 수 있다.

\frac{h_2}{k_2}-\frac{h_1}{k_1}=\frac{k_1h_2-k_2h_1}{k_1k_2}=\frac{1}{k_1k_2}

연속된 세 항을 차례대로 h_1/k_1, h_2/k_2, h_3/k_3 라고 할 경우,

\frac{h_2}{k_2}=\frac{h_1+h_3}{k_1+k_3}

이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다.

h_1/k_1, h_2/k_2, h_3/k_3가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때 h_1/k_1, h_2/k_2h_2/k_2, h_3/k_3는 각각이 페리 수열의 연속하는 두 항이므로

 k_1h_2-k_2h_1=1 ... (1)
 k_2h_3-k_3h_2=1 ... (2)

(1)\times h_3+(2)\times h_1와 (1)\times k_3+(2)\times k_1를 각각 계산하여 정리하면

h_1+h_3=h_2(k_1h_3-h_1k_3)
k_1+k_3=k_2(k_1h_3-h_1k_3)

따라서,

\frac{h_1+h_3}{k_1+k_3}=\frac{h_2(k_1h_3-h_1k_3)}{k_2(k_1h_3-h_1k_3)}=\frac{h_2}{k_2}

물론, 후자의 성질에서 전자의 성질을 유도하는 것 역시 가능하다.[1]

한편, 페리 수열의 인접한 두 항 h_1/k_1, h_2/k_2의 중앙값

\frac{h_1+h_2}{k_1+k_2}

의 분모 k_1+k_2는 항상 n보다 크다.

k_1+k_2 > n

또한 인접한 두 항의 중앙값은 k_1+k_2번 째 페리 수열 F_{k_1+k_2}에 처음 등장하며, 이 값은 항상 구간

\left( \frac{h_1}{k_1} , \frac{h_2}{k_2} \right)

사이에 존재하게 된다.

[편집]

n=1…8까지의 페리 수열은 다음과 같다.

F1 = {0/1, 1/1}
F2 = {0/1, 1/2, 1/1}
F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}
F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}
F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1}
F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}
F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

역사[편집]

1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로(영어: Charles Haros)가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세(영어: John Farey, Sr.)가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 오귀스탱루이 코시가 증명하였다.dfad

참고 문헌[편집]

  1. Hardy, G. H., E. M. Wright (2008년). 《An Introduction to the Theory of Numbers》, 6판, Oxford University Press. ISBN 0-19-853171-0

같이 보기[편집]