곱셈적 함수

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곱셈적 함수(Multiplicative function), 또는 곱산술함수는 어떤 수론적 함수(arithmetic function) f(n)가 다음과 같은 두 조건을 만족할 때를 가리킨다.

  • f(1) = 1
  • 서로 소인 임의의 두 정수 a, b에 대해 f(ab) = f(a) f(b)가 항상 성립한다.


만약 모든 정수 ab에 대해 항상 f(ab) = f(a) \cdot f(b)를 만족한다면, 이 함수는 완전 곱셈적(completely multiplicative)이라고 한다.

[편집]

수론에 나오는 중요한 함수들 중에 곱셈적인 함수를 찾아보면, 다음과 같은 예가 있다.

특히, 완전 곱셈적인 함수에는 다음과 같은 예가 있다.

  • Idk(n): 거듭제곱 함수 : Idk(n) = nk 로 정의되는 함수
    • 1(n): 모든 함수값이 1인 상수 함수. k가 0일 때의 특수한 경우이다.
    • Id(n): 항등 함수 : Id(n) = n인 함수. k가 1일 때의 특수한 경우이다.
  • ε(n): n = 1 일 때 ε(n) = 1, n > 1 일 때는 ε(n) = 0 로 정의된 함수이다.
  • (n/p). 르장드르 기호. 여기서 p는 고정된 소수이다.

곱셈적 함수가 아닌 함수의 예로는 r2(n)가 있다. r2(n)는 n을 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 가지수이며, 이때 덧셈의 순서도 구분한다. 즉,

1 = 12 + 02 = (-1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (-1)2

이다. 따라서 r2(1) = 4 ≠ 1 이 된다. 이로써 이 함수가 곱셈적이 아님을 보일 수 있다. 그러나, r2(n)/4는 곱셈적이다.

성질[편집]

곱셈적 함수는 산술의 기본 정리에 따라 소수의 거듭제곱에서의 함수값들 만으로 모든 값이 완전히 결정된다. 그래서 n을 서로 다른 소수들의 곱으로 나타낼 때, 즉, n = pa qb ..., 이면, f(n) = f(pa) f(qb) ... 이다.

이 곱셈적 함수의 성질을 이용하면 함수값의 계산이 훨씬 용이해진다. 예를 들어 n = 144 = 24 · 32의 약수함수(Divisor function)값을 계산해 보면,

d(144) = σ0(144) = σ0(240(32) = (10 + 20 + 40 + 80 + 160)(10 + 30 + 90) = 5 · 3 = 15,
σ(144) = σ1(144) = σ1(241(32) = (11 + 21 + 41 + 81 + 161)(11 + 31 + 91) = 31 · 13 = 403.

이 된다. 또한,

φ(144)=φ(24)φ(32) = 8 · 6 = 48

이다.

일반적으로 f(n)이 곱셈적이고, a, b가 두 자연수이면 다음이 성립한다.

f(a) · f(b) = f(gcd(a,b)) · f(lcm(a,b))

이 역시 산술의 기본 정리에 의해 쉽게 증명된다.

포갬(합성곱 ; Convolution)[편집]

fg가 곱셈적 함수일 때, 이 둘의 디리클레 합성곱 f * g를 다음과 같이 정의한다.

(f * g)(n) = ∑d|n f(d)g(n/d)

여기서 합은 n의 모든 양의 인자 d에 대해 이루어지고, 이 연산(operation)으로 모든 곱셈적 함수들의 집합은 가환군(abelian group)을 이루며, 단위원은 ε이다.

위에 언급된 곱셈적 함수들간의 관계는 몇 개 써보면 다음과 같다.

  • ε = μ * 1; 뫼비우스 반전 공식(Moebius inversion formula)
  • φ = μ * Id
  • d = 1 * 1
  • σ = Id * 1 = φ * d
  • σk = Idk * 1
  • Id = φ * 1 = σ * μ
  • Idk = σk * μ

디리클레 포갬은 또한 일반적인 수론적 함수(arithmetic function)에 대해 정의될 수 있고, 이 때는 환 구조(ring structure)를 만든다.