조화 함수

환형 위에서 정의되는 조화함수의 예

수학에서, 조화 함수(調和函數, harmonic function)는 라플라스 방정식의 해가 되는 함수다.

정의

유클리드 공간 $\mathbb R^n$의 열린 부분집합 $U\subset\mathbb R^n$을 생각하자. 그렇다면 $U$ 위의 조화 함수는 다음 조건을 만족하는 함수 $f\colon U\to\mathbb R$이다.

• $f$의 이차 도함수가 존재한다.
• 임의의 $x\in U$에 대하여, 항상 $\Delta f(x)=0$이다. 여기서

$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$

는 라플라스 연산자이다.

같이 보기

• 디리클레 문제
• 디리클레 원리
• 열방정식
• 라플라스 방정식
• 푸아송 방정식

외부 연결

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Harmonic Function. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.