영 타블로

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조합론표현론에서, 영 타블로(영어: Young tableau, 복수 영어: Young tableaux)는 대칭군일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.

정의[편집]

페러스 그림(영어: Ferrers diagram)은 일련의 행(row)들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.

페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다.

영 타블로(영어: Young tableau)는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.

영 타블로의 예.

표준 영 타블로(영어: standard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

  • 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
  • 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

준표준 영 타블로(영어: semistandard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

  • 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
  • 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

주어진 페러스 그림에서, (i,j)번째 칸의 고리 길이(영어: hook length) \operatorname{hook}(i,j)i'\ge i,j=j' 또는 i'=i,j'\ge j인 칸 (i',j') (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다.

페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들

표현론에서의 응용[편집]

대칭군의 기약표현[편집]

대칭군 S_n의 복소 기약표현은 총 n개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.

  • 각 칸의 숫자는 1,\dots,n 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.

이 경우, S_n 기약표현의 차원은 다음과 같다.

\dim r=\frac{n!}{\prod_{i,j}\operatorname{hook}(i,j)}

예를 들어, S4의 기약표현들은 다음과 같다.

페러스 그림 고리 길이 S4 표현 차원
□□□□ 4321 1
□□□
421
1
3
□□
□□
32
21
2
□□

41
2
1
3



4
3
2
1
1

선형군과 유니터리 군의 기약표현[편집]

일반선형군 GL(n,\mathbb C)의 복소 기약표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

  • 각 열의 길이는 n 이하다.

이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.

  • 각 칸의 숫자는 1,\dots,n 가운데 하나다.

이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.

\dim r=\prod_{(i,j)}\frac{n-i+j}{\operatorname{hook}(i,j)}

특수선형군 SL(n,\mathbb C)의 복소 기약표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

  • 각 열의 길이는 n 미만이다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.

특수 유니터리 군 SU(n)의 복소화는 특수선형군 SL(n,\mathbb C)이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소 기약표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.

페러스 그림 고리 길이 SU(n) 표현 차원
· · 1
1 n
□□ 21 n(n+1)/2

2
1
n(n-1)/2
□□□ 321 n(n+1)(n+2)/6
□□
31
1
n(n^2-1)/3


3
2
1
n(n-1)(n-2)/6

이들 표현들은 N차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 N차원 기본 표현의 지수(index)로 나타내면, 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화하고, 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화하게 된다. 예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

T^{ijklm}

꼴의 텐서에 대응한다. 이는

T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}

의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.

특수직교군과 심플렉틱 군[편집]

SO(N)과 USp(2N)의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다.[1] 이 경우

\operatorname{SO}(N)\subset\operatorname{SU}(N)
\operatorname{USp}(2N)\subset\operatorname{SU}(2N)

을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. SO(N)의 경우, SU(N)과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 이는 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기한다.

역사[편집]

영국의 수학자 앨프리드 영(영어: Alfred Young)이 1900년에 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Group theory for physicists (2011년 1월 12일).
  2. (영어) O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (2001년 9월). Alfred Young. 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교.