영 타블로

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조합론표현론에서, 영 타블로(영어: Young tableau, 복수 영어: Young tableaux)는 대칭군일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.

정의[편집]

페러스 그림(영어: Ferrers diagram)은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.

페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다.

영 타블로(영어: Young tableau)는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.

영 타블로의 예.

표준 영 타블로(영어: standard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

  • 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
  • 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

준표준 영 타블로(영어: semistandard Young tableau)는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.

  • 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
  • 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

주어진 페러스 그림에서, (i,j)번째 칸의 고리 길이(영어: hook length) \operatorname{hook}(i,j)i'\ge i,j=j' 또는 i'=i,j'\ge j인 칸 (i',j') (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다.

페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들

표현론에서의 응용[편집]

대칭군[편집]

대칭군 S_n의 복소 기약표현은 총 n개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.

  • 각 칸의 숫자는 1,\dots,n 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.

이 경우, S_n 기약표현의 차원은 다음과 같다.

\dim r=\frac{n!}{\prod_{i,j}\operatorname{hook}(i,j)}

예를 들어, S4의 기약표현들은 다음과 같다.

페러스 그림 고리 길이 S4 표현 차원
□□□□ 4321 1
□□□
421
1
3
□□
□□
32
21
2
□□

41
2
1
3



4
3
2
1
1

선형군과 유니터리 군[편집]

일반선형군 GL(n,\mathbb C)의 복소 기약표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

  • 각 열의 길이는 n 이하다.

이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.

  • 각 칸의 숫자는 1,\dots,n 가운데 하나다.

이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.

\dim r=\prod_{(i,j)}\frac{n-i+j}{\operatorname{hook}(i,j)}

특수선형군 SL(n,\mathbb C)의 복소 기약표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.

  • 각 열의 길이는 n 미만이다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.

특수 유니터리 군 SU(n)의 복소화는 특수선형군 SL(n,\mathbb C)이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소 기약표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.

페러스 그림 고리 길이 SU(n) 표현 차원
· · 1
1 n
□□ 21 n(n+1)/2

2
1
n(n-1)/2
□□□ 321 n(n+1)(n+2)/6
□□
31
1
n(n^2-1)/3


3
2
1
n(n-1)(n-2)/6

이들 표현들은 N차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 N차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면

  • 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다.
  • 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다.

예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

T^{ijklm}

꼴의 텐서에 대응한다. 이는

T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}

의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.

직교군[편집]

SO(n)의 경우, \operatorname{SO}(n)\subset\operatorname{SU}(n)을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, SO(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.

  • 각 열의 길이가 \lfloor n/2\rfloor

만약 n이 짝수이고, 길이가 n/2인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(영어: self-dual, SD) 및 반자기쌍대(영어: anti-self-dual, ASD)로 일컬어진다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.[1] i번째 열의 길이를 r_i, i번째 행의 길이를 c_i라고 하자 (i\ge1). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)을 정의하자.[1]:10

C(i,j)=\begin{cases}r_i+r_j-i-j&i\ge j\\-c_i-c_j+i+j-2&i<j\end{cases}

그렇다면 SO(n) 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.[1]:Cor. 13, Cor. 17, Remark 18

\dim r=\sum_{(i,j)}\frac{n+C(i,j)}{\operatorname{hook}(i,j)}

만약 n이 짝수이며 길이가 n/2인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다.

영 타블로의 각 칸은 n차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우

  • 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다.
  • 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다.

예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

T^{ijklm}

꼴의 텐서에 대응하며,

T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}
0=\delta_{ij}T^{ijklm}=\delta_{ik}T^{ijklm}=\delta_{jk}T^{ijklm}=\delta_{lm}T^{ijklm}

꼴의 (반)대칭성을 가진다.

SO(n)의 경우, SU(n)과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다.[2] 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자.

페러스 그림 고리 길이 내용 SO(n) 표현 차원 페러스 그림 Spin(n) 표현 차원 (n>6)
· · · 1 · (s) 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}
1 +0 n □ (s) 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(n-1)
□□ 21 +2 −1 (n+2)(n-1)/2 □□ (s) 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-1)/2

21 +0
−1
n(n-1)/2 □ (s)
2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-3)/2
□□□ 321 +4 −1 +0 (n+4)(n-1)n/6 □□□ (s) 2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-1)(n+1)/6
□□
31
1
+2 −2
+0
(n+2)(n-2)n/3 □□ (s)
2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(n-2)(n-1)(n+3/2)


3
2
1
+0
−1
−2
n(n-1)(n-2)/6 □ (s)

2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-1)(n-5)/6

예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 기약표현들은 SU(2) 영 타블로 또는 SO(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

스핀 0 ½ 1 2 3
차원 1 2 3 4 5 6 7 8
SU(2) 영 타블로 · □□ □□□ □□□□ □□□□□ □□□□□□ □□□□□□□□
SO(3) 영 타블로 · · (s) □ (s) □□ □□ (s) □□□ □□□ (s)

마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 기약표현들은 SO(6) 영 타블로 또는 SU(4) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

차원 1 4 4 6 10 10
SU(4) 영 타블로 ·


□□ □□
□□
□□
SO(6) 영 타블로 · · (s) · (s) □ (SD)

□ (ASD)

마찬가지로, Spin(4)=SU(2)×SU(2)의 기약표현들은 다음과 같다.

스핀 (0, 0) (½, 0) (0, ½) (½, ½) (1, 0) (0, 1) (1, ½) (½, 1) (1½, 0) (0, 1½) (1, 1) (1½, ½) (½, 1½) (2, 0) (0, 2)
SU(2) 영 타블로 (·, ·) (□, ·) (·, □) (□, □) (□□, ·) (·, □□) (□□, □) (□, □□) (□□□, ·) (·, □□□) (□□, □□) (□□□, □) (□, □□□) (□□□□, ·) (·, □□□□)
SO(4) 영 타블로 · s s □ (SD)
□ (ASD)
□ (s) □ (s) □ (s)
□ (s)
□□ □□ (SD)
□□ (ASD)
□□ (SD)
□□
□□ (ASD)
□□

심플렉틱 군[편집]

짝수 n에 대하여, USp(n)의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다.[2] 이 경우

\operatorname{USp}(n)\subset\operatorname{SU}(n)

을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, USp(n)의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.

  • 각 열의 길이가 n/2 이하이다.

이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다.[1] 페러스 그림 \lambda의 행의 길이가 r_1,r_2,\dots이며, 열의 길이가 c_1,c_2,\dots라고 하자. 우선, 다음과 같은 내용 함수(영어: content function)를 정의하자.[1]:6

C(i,j)=\begin{cases}
r_i+r_j-i-j+2&i>j\\
-c_i-c_j+i+j&i\le j
\end{cases}

그렇다면 USp(n) 표현의 차원은 다음과 같다.[1]:Cor. 9

\dim r=\prod_{(i,j)}\frac{n+C(i,j)}{\operatorname{hook}(i,j)}

영 타블로의 각 칸은 n차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우

  • 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다.
  • 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, \omega_{\mu\nu}에 의한 축약이 모두 0이다.

예를 들어,

i⃞ j⃞ k⃞
l⃞ m⃞

의 꼴의 영 타블로는

T^{ijklm}

꼴의 텐서에 대응하며,

T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}
0=\omega_{il}T^{ijklm}=\omega_{jm}T^{ijklm}=0

꼴의 (반)대칭성을 가진다.

페러스 그림 고리 길이 내용 USp(n) 표현 차원
· 1
1 0 n
□□ 21 +0 +1 n(n+1)/2

2
1
−2
+1
(n-1)(n12)/2
□□□ 321 +0 +1 +2 n(n+1)(n+2)/6
□□
31
1
−2 +0
+2
(n-2)n(n+2)/3


3
2
1
−4
+0
+1
(n-4)n(n+1)/6

예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다.

차원 1 4 5 10 14 16
SO(5) 영 타블로 · · (s)
□□ □ (s)
USp(4) 영 타블로 ·
□□ □□
□□
□□

역사[편집]

영국의 수학자 앨프리드 영(영어: Alfred Young)이 1900년에 도입하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Campbell, Peter S., Anna Stokke. Hook–content formulae for symplectic and orthogonal tableaux. arXiv:0710.4155.
  2. Group theory for physicists (2011년 1월 12일).
  3. (영어) O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (2001년 9월). Alfred Young. 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교.