해석함수

수학에서 해석함수(解析函數, analytic function)란 국소적으로(locally) 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 함수 $f$ 가 한 점 $x_0$에서 해석적이라는 것은 그 점 근방에서의 테일러 급수가 수렴하는 것과 같은 의미이고, 정의역 $D$ 의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석함수라하고 한다. 일반적으로 해석함수는 실함수와 복소함수의 경우로 나누어 생각하며 복소해석함수는 실해석함수에 비해 수학적으로 풍부한 성질을 갖는다.

정의

수직선 위의 열린집합 $D$에서 정의된 실함수 $f$ 가 해석함수라 함은 $f$가 $D$ 안의 모든 점에서 해석적임을 말한다. 또 $f$ 가 한 점 $x_0 \in D$에서 해석적이라 함은 $x_0$ 근방에서 수렴하는 급수가 존재하여

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-x_0)^n =a_0 + a_1 (x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots, \qquad a_n \in \mathbb{R}$

와 같이 쓸 수 있음을 뜻한다.

실해석함수는 무한번 미분가능하며, 정의역 안의 모든 점에서의 테일러급수는 $f$ 로 수렴한다. 즉, 정의역 안의 한 점 $x_0 \in D$ 근방의 모든 점 $x \in D$ 에 대해

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$

이다.

복소해석함수의 정의는 위의 정의에서 수직선을 복소평면으로, 실함수를 복소함수로, 급수에서 $a_n \in \mathbb{R}$ 를 $a_n \in \mathbb{C}$로 바꾸면 된다. 다만 복소평면에서의 근방이란 면적을 갖는 열린집합이라는 사실에 유의해야 한다. 복소해석함수도 실해석함수와 마찬가지로 무한번 미분가능하며, 테일러급수로 나타낼 수 있다. 복소해석함수는 코시-리만 방정식을 만족한다. 복소수 평면 $\mathbb{C}$ 전체에서 해석적인 함수를 특별히 전해석함수(entire function)라고 한다.

예

기본 함수들 - 다항함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수 등 -은 수직선(또는 복소평면)의 특정영역에서 해석적이다. 다음은 해석함수의 예이다.

• • $n$차 다항함수(실 또는 복소다항함수 모두) $p(x)=a_0 +a_1x + a_2 x^2 +\cdots +a_nx^n$ 는 급수 $\sum_{j=0}^{\infty} a_j x^n$ 에서 $j>n$일 때 $a_j=0$인 경우로 생각할 수 있다.

• • 지수함수 $e^x$는 점 $x_0 \in \mathbb{R}$ (또는 $\mathbb{C}$)에서 급수 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{x_0}}{n!}(x-x_0)^n$ 로 나타낼 수 있다.

그러나 모든 함수가 해석함수인 것은 아니다. 예를 들어 실함수 $f (x)=|x|$는 $x=0$에서 미분가능하지 않으므로 해석적이지 않다. 또한 복소함수 $f(z)=\overline{z}$는 복소평면 위의 어떤 점에서도 해석적이지 않다.