달랑베르 연산자

달랑베르 연산자(d’Alembert演算子, d’Alembertian)는 민코프스키 공간에서의 라플라스 연산자다. 특수 상대성 이론과 전자기학에서 쓰인다. 기호는 $\square$ 또는 $\partial^2$. 장 르 롱 달랑베르가 도입하였다.

정의

민코프스키 공간 $(t,x,y,z)$에서, 달랑베르 연산자는 다음과 같다.

$\begin{align} \Box & = \partial_\mu \partial^\mu = g_{\mu\nu} \partial^\nu \partial^\mu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \\ & = {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 = {\partial^2 \over \partial t^2} - \Delta \end{align}$

사용

클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

$(\Box + \mu^2) \psi = 0$

진공의 전자기장에서의 파동방정식은 다음과 같다.

$\Box A^{\mu} = 0$

여기서 $A^{\mu}$는 민코프스키 공간에서의 전자기 퍼텐셜이다.