유리 함수

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대수학해석학에서, 유리 함수(有理函數, 영어: rational function)란 두 다항함수의 비로 나타낼 수 있는 함수다.

정의[편집]

K가 주어졌다고 하자. 그렇다면, n변수의 유리 함수체 K(x_1,\dots,x_n)다항식환분수체이다.

K(x_1,\dots,x_n)=\operatorname{Frac}(K[x_1,\dots,x_n])

유리 함수체의 원소를 유리 함수라고 한다.

즉, 유리 함수체에 속하는 함수는 다항식들의 비, 즉

\frac{p(x_1,\dots,x_n)}{q(x_1,\dots,x_n)}\qquad(p,q\in K[x_1,\dots,x_n],\;q\ne0)

의 꼴이며, 약분을 해서 같아지는 다항식들의 비는 같은 유리 함수로 간주한다.

성질[편집]

체의 계수를 갖는 유리 함수들은 를 이룬다. 즉, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

유리 함수체의 경우 체의 동형

K(x_1,\dots,x_n)\cong K(x_1)(x_2)\cdots(x_n)

이 존재한다.

유리 함수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포대수 함수의 체 \overline{K(x_1,\dots,x_n)}라고 한다.

테일러 급수[편집]

유리 함수를 테일러 급수로 표현했을 때, 그 계수를 동류항 정리를 통해 일차 점화식으로 나타낼 수 있다.

예를 들어, 다음 유리 함수의 테일러 급수를 생각하자.

\frac{1}{x^2 - x + 2} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.

양변에 분모를 곱하여 분해할 수 있다.

1 = (x^2 - x + 2) \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k
1 = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+2} - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+1} + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.

그리하여 동류항 정리를 통해 다음 등식을 얻는다.

1 = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-2} x^k - \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.

결국 이 과정을 통해 최초 주어진 유리식을 테일러 전개했을 때, 계수의 일차 점화식을 얻을 수 있다. 이 점화식을 풀면 직접 일반항을 얻을 수 있다.

a_0 = \frac12
a_1 = \frac14
a_{k} = \frac12(a_{k-1} - a_{k-2})\qquad(k\ge2)

[편집]

3차 유리 함수 (x^3-2x)/(2(x^2-5))의 그래프

유리 함수

x\mapsto \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}

x=\pm \sqrt{5}에서 값이 정의되지 않는다.

유리 함수

x\mapsto \frac{x^3-2x}{2(x^2+5)}

는 모든 실수에서 정의되지만 모든 복소수에서 정의되는 것은 아니다.

유리 함수

x\mapsto \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}

x가 무한히 커지면 x/2에 접근한다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]