유리함수

이 문서는 두 다항함수의 비에 관한 것입니다. 극점을 가질 수 있는 정칙함수에 대해서는 유리형함수 문서를 참조하십시오.

유리함수(有理函數, rational function)란 두 다항함수의 비로 나타낼 수 있는 함수다.

유리식

분모가 0을 제외한 상수인 유리식은 다항식이다. 분모에 일차 이상의 다항식이 들어간 유리식을 분수식이라고 한다.

• 유리식의 연산은 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 모두 성립한다.
• 유리식에서는 분모는 반드시 0이 아니어야 한다. 따라서 미지수에는 분모를 0으로 만드는 값은 절대로 들어갈 수 없다.

예

3차 유리함수의 그래프 :
$y = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$

유리함수 $f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$는 $x^2=5 \leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}$에서 값이 정의되지 않는다.

유리함수 $f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2+5)}$는 모든 실수에서 정의되지만 모든 복소수에서 정의되는 것은 아니다.

유리함수 $f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$는 $x$가 무한히 커지면 $\frac{x}{2}$에 접근한다.

테일러 급수

유리함수를 테일러 급수로 표현했을 때, 동류항 정리를 통해 일차 점화식(linear recurrence relation)으로 표현가능하다.

예를 들어 다음 유리식을 테일러 급수로 표현했다고 가정하자.

$\frac{1}{x^2 - x + 2} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.$

양변에 분모를 곱하여 분해할 수 있다.

$1 = (x^2 - x + 2) \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k$

$1 = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+2} - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+1} + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.$

그리하여 동류항 정리를 통해 다음 등식을 얻는다.

$1 = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-2} x^k - \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.$

결국 이 과정을 통해 최초 주어진 유리식을 테일러 전개 했을 때, 계수의 일차 점화식을 얻을 수 있다. 이 점화식을 풀면 직접 일반항을 얻을 수도 있다.

$a_0 = \frac{1}{2}, a_1 = \frac{1}{4}$

$a_{k} = \frac{1}{2} (a_{k-1} - a_{k-2})$ ($k\ge2$)