쌍곡치환적분

쌍곡치환적분은 삼각치환적분과 유사한 형태의 치환적분 기법 중 하나로, 삼각치환적분에서 삼각함수를 이용해 적분하는 것과 달리 여기에서는 쌍곡선함수를 이용하여 적분한다. 이 두 기법은 원리상 동일하므로, 오스본 법칙에 따르면, 쌍곡 치환적분의 기법은 기본적으로 삼각 치환적분이 가능한 모든 꼴에 동등하게 적용할 수 있다. 또한 바이어슈트라스 치환법 역시 동등하게 적용 가능하다.

이 치환법은 삼각치환법에 비교했을 때 크게 두 가지 장점을 갖고 있다. 먼저, 쌍곡선 함수는 삼각함수와 달리 주기성을 띠지 않고, 기본적인 형태인 쌍곡사인함수와 쌍곡코사인함수의 치역이 사인함수와 코사인함수보다 훨씬 넓으므로, 이 형태의 치환을 이용하면 적분 범위를 다시 정할 때 더 편하다. 또한, 쌍곡선 함수의 미분 공식이 삼각함수보다 간단하여 다루기 쉽다.

이용하는 성질

쌍곡선 함수의 정의에 따라서, 다음 세 가지 성질들이 성립한다. 이는 삼각함수와 유사하다.

$\cosh ^2 t - \sinh ^2 t = 1$

$\tanh ^2 t + \operatorname{sech} ^2 t = 1$

$\coth ^2 t - \operatorname{csch} ^2 t = 1$

따라서, 삼각치환이 가능한 경우 동등하게 쌍곡치환이 가능하다. 쌍곡치환이 상대적으로 삼각치환에 대하여 강점을 보이는 부분은 $a^2+x^2$ 의 형태이다. 이때 삼각치환을 이용하기 위해서는 $x$를 $a\tan \theta$로 치환하고 복잡한 미분 공식을 이용하여야 하지만, 쌍곡치환을 이용하면 $x$를 $a\sinh t$로 치환하고 상대적으로 간결한 미분공식만을 이용하면 된다. 반면 $x^2-a^2$ 꼴의 식에서는 쌍곡탄젠트 함수를 이용하여야 하는데, 이 경우에는 오히려 삼각치환보다 복잡하다는 단점이 있다.

예

삼각치환에서와 유사하게, 양수 $a$에 대하여,

$\int_{}^{} (x^2+a^2)^{1/2}\, dx$

를 적분해 보자. 먼저 $x$를 $a\sinh t$로 치환하면,

$a\cosh t dt = dx$

이고,

$x^2+a^2 = a^2\cosh ^2 t$

이므로, 근호는 $a\cosh t$와 같이 풀어지게 되어서,

$\int_{}^{} {a^2 \cosh ^2 t} \, dt = \int_{}^{} \frac{a^2}{2}(\cosh 2t + 1) \, dt = \frac{a^2(\sinh 2t + 2t)}{4} + C$

와 같이 적분이 해결된다. 이를 다시 $x$로 치환하면 쌍곡사인의 역함수가 필요하지만, 정적분의 경우에는 이러한 부담을 고려할 필요가 없다.

같은 형태의 적분을 삼각치환으로 구하기 위해 $x = a\tan t$로 치환하면, 근호는 똑같이 풀어지지만 적분은,

$\int_{}^{} {a^2 \sec ^3 t} \, dt$

와 같이 더욱 복잡한 꼴이 된다. 이 형태의 부정적분을 구하기 위해서는 식을 나누어서 고치는 등의 비교적 번거로운 작업이 동원되어야 한다. 실제로 풀면,

$\frac{a^2}{2}(-\log{\left[\cos{\frac{t}{2}} - \sin{\frac{t}{2}}\right]} + \log{\left[\cos{\frac{t}{2}} + \sin{\frac{t}{2}}\right]} + \sec{t} \tan{t}) + C$

와 같이 된다.

같이 보기

• 바이어슈트라스 치환법
• 삼각치환적분