자연로그

자연로그는 오일러의 수 e를 밑으로 하는 로그를 뜻한다. 즉, $e^{x}=y$일 때, $x=\ln y$를 y의 자연로그라 한다.

복소수의 자연로그

로그 함수는 다음과 같이 복소수로 확장할 수 있다. 먼저 오일러의 공식을 보면,

$re ^{ix} =r(\cos x+i\sin x)$

양변에 자연로그를 씌우면

$re ^{ix} =r(\cos x+i\sin x)$

$\therefore \ln r(\cos x+i\sin x)=ix+\ln r$

미분

$y(x) = \ln x$이면 $y$의 $x$에 대한 미분 ${dy \over dx} = \frac{1}{x}$이며, 증명은 다음과 같다.

$\begin{align} {dy \over dx} & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln (x+\Delta x) - \ln x}{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln \frac{x+\Delta x}{x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x}) \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \ln {(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}} \\ \end{align}$

$u = \frac{\Delta x}{x}$로 두면, $\Delta x \to 0$일 때 $u \to 0$이다. 따라서

$\begin{align} {dy \over dx} & = \lim_{u \to 0} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u x}}} \\ & = \lim_{u \to 0} \frac{1}{x} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u}}} \\ & = \frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u}}} \\ & = \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x} \\ \end{align}$

같이 보기

• 폴리로그