자연로그

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자연로그(自然log, 영어: natural logarithm)는 e를 밑으로 하는 로그를 뜻한다. 즉,  e^{x}=y 일 때,  \ln x=1 을 자연로그라 한다.

복소수의 자연로그[편집]

로그 함수는 다음과 같이 복소수로 확장할 수 있다. 먼저 오일러의 공식을 보면,

 re  ^{ix} =r(\cos x+i\sin x)

양변에 자연로그를 씌우면

 re  ^{ix} =r(\cos x+i\sin x)
 \therefore \ln r(\cos x+i\sin x)=ix+\ln r

미분[편집]

y(x) = \ln x이면 yx에 대한 미분 {dy \over dx} = \frac{1}{x}이며, 증명은 다음과 같다.

\begin{align}
{dy \over dx}
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln (x+\Delta x) - \ln x}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln \frac{x+\Delta x}{x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x}) \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \ln {(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}} \\
\end{align}

u = \frac{\Delta x}{x}로 두면, \Delta x \to 0일 때 u \to 0이다. 따라서

\begin{align}
{dy \over dx}
& = \lim_{u \to 0} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u x}}} \\
& = \lim_{u \to 0} \frac{1}{x} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u}}} \\
& = \frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u}}} \\
& = \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x} \\
\end{align}

같이 보기[편집]