오일러의 공식

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z = cosx + isinx는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.

오일러의 공식은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러의 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 다음이 성립한다.

e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, i는 제곱하여 -1이 되는(i2 = - 1) 허수단위, sin,cos은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

x에 π를 대입하여, eiπ + 1 = 0 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.

목차

[편집] 역사

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 증명하였다.

\ln(\cos x + i\sin x) \,=\, ix

지금과 같은 모양의 오일러의 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 대수학 원론(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.

[편집] 증명

[편집] 테일러 급수를 이용한 방법

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.

\begin{array}{rll} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{x^n}{n!}} \\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n} \\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ \end{array}

이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면

\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos z + i\sin z \end{align}

가 된다.

[편집] 미분 계산을 이용한 방법

가정

e^{ix} = \cos x + i\sin x \,

증명방법

양변을 e^{ix}\,로 나누면(지수함수의 치역은 0일수 없으므로 0나누기는 없다.)
1 = (\cos x + i\sin x )e^{-ix} \,
f(x) = (\cos x + i\sin x )e^{-ix} \, 라고 할때
f(x) = 1\, 이 참이면 e^x = \cos x + i\sin x \, 는 참이다.
상수 함수(모든 정의역에 대하여 하나의 원소만 치역으로 가지는 다대일함수)는 다음 두 조건을 모두 만족하여야 한다.
조건1. 어떤 정의역값을 대입하였을때 참이다.
조건2. 상수함수는 변화율이 없는 함수이므로 미분결과가 0\, 이다.
따라서 f(x)\, 는 상수 함수 이므로 어떤 값 a를 넣었을때 f(a)=1\, 이고, f'(x)=0\, 이면 가정은 참이다.

증명

조건1의 증명
f(x) = (\cos x + i\sin x )e^{-ix} \,
x\,에 0\, 을 대입하면
f(0) = (\cos 0 + i\sin 0 )e^0 \,
f(0) = (1 + 0 )*1\,
f(0) = 1\,
조건2의 증명
F(x)= A(x)B(x)\, 일때 F'(x) = A(x)B'(x) + A'(x)B(x)\, 이므로
f(x) = (\cos x + i\sin x )e^{-ix} \,
f'(x) = (\cos x + i\sin x )\frac{d}{dx}e^{-ix} + \frac{d}{dx}(\cos x + i\sin x )e^{-ix}\,
f'(x) = (\cos x + i\sin x )(-ie^{-ix}) + (-\sin x + i\cos x )e^{-ix}\,
f'(x) = (-i\cos x - i^2\sin x )e^{-ix} + (-\sin x + i\cos x )e^{-ix}\,
f'(x) = (-i\cos x + \sin x -\sin x + i\cos x )e^{-ix}\,
f'(x) = 0\,


조건1과 조건2를 모두 만족하므로 가정은 참이다.

Q.E.D.

[편집] 미적분을 이용한 방법

다음과 같은 복소수 z를 생각하자:

z=\cos x + i\sin x \,

양변을 x에 대해 미분하면:

\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x

i2 = - 1이므로:

\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=iz

양변을 적분하면:

\begin{align} \frac{1}{z}\,\frac{dz}{dx}&= i \\ \int\frac{1}{z}\,dz&=\int i\,dx \\ \ln z&=ix + C \end{align}

(여기에서 C는 적분 상수이다.)

이제 C = 0이라는 것을 증명한다. x = 0일 경우를 계산해보면

\begin{align} \ln z &= C \\ z &= \cos x + i\sin x = \cos 0 + i \sin 0 = 1 \end{align}

따라서

\begin{align} \ln 1 &= C \\ C &= 0 \end{align}

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

\begin{align} \ln z &= ix \\ z &= e^{ix} \\ e^{ix} &= \cos x + i\sin x \end{align}

Q.E.D.


[편집] 미분방정식을 이용한 방법

함수 g(x) 를 다음과 같이 정의한다.

g(x) = eix

허수단위 i 는 상수이므로 g(x)의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.

\begin{align} g'(x) &= i e^{ix} \\ g''(x) &= i^2 e^{ix} = -e^{ix} \end{align}

이로부터

g''(x) = -g(x) \ 또는
g''(x) + g(x) = 0 \ 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,

일차 독립인 두 해가 발생한다.

\begin{align} g_1(x) &= \cos x \\ g_2(x) &= \sin x \end{align}

한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

\begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B \\ g_2(x) &= A \cos x + B \sin x \end{align}
(A와 B는 상수)

그리고 여기에 함수 g(x) 의 초기조건

\begin{align} g(0) &= e^{i0} &= 1 \\ g'(0) &= i e^{i0} &= i \end{align} 을 대입하면,
\begin{align} g(0) &= {\color{White}-}A \cos 0 + B \sin 0 &= A \\ g'(0) &= -A \sin 0 + B \cos 0 &= B \end{align}


곧,

\begin{align} g(0) &= A &= 1 \\ g'(0) &= B &= i \end{align}

이므로

g(x) \,=\, e^{ix} = \cos x + i \sin x 이다.

Q.E.D.

[편집] cis 함수

cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러의 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{cis}(\theta) = e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta

이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용된다.

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC%EC%9D%98_%EA%B3%B5%EC%8B%9D’