오일러의 공식

$z = \cos x + i \sin x$는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.

오일러의 공식은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러의 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 허수 지수 ix를 다음과 같이 정의한다.

$e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x$

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, $i$는 제곱하여 -1이 되는($i^2 = -1$) 허수단위, $\sin, \cos$은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

$x$에 $\pi$를 대입하여, $e^{i \pi} + 1 = 0$ 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.

역사

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다.

$\ln(\cos x + i\sin x) \,=\, ix$

지금과 같은 모양의 오일러의 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 대수학 원론(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.

발견적인 증명

테일러 급수를 이용한 방법

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.

$\begin{array}{rll} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{x^n}{n!}} \\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n} \\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots &{}= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\ \end{array}$

이때 x가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면

$\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos z + i\sin z \end{align}$

가 된다.

미분 계산을 이용한 방법

$f(x) = e^{-ix}(\cos x + i\sin x) \cdots (1)$ 라면,

$\frac {d}{dx} f(x) = -ie^{-ix}(\cos x + i\sin x)+e^{-ix}(-\sin x + i\cos x) = e^{-ix}(-i \cos x + \sin x -\sin x + i\cos x) =0$

$\therefore f(x)=C$ (단, $C$는 상수)

(1)에 $x=0$을 대입하면,

$f(0) = 1$

$\therefore C=1$

$e^{-ix}(\cos x + i\sin x) = 1$

$e^{ix} = (\cos x + i\sin x)$

Q.E.D.

미적분을 이용한 방법

다음과 같은 복소수 $z$를 생각하자:

$z=\cos x + i\sin x \,$

양변을 $x$에 대해 미분하면:

$\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x$

$i^2 = -1$이므로:

$\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=iz$

양변을 적분하면:

$\begin{align} \frac{1}{z}\,\frac{dz}{dx}&= i \\ \int\frac{1}{z}\,dz&=\int i\,dx \\ \ln z&=ix + C \end{align}$

(여기에서 $C$는 적분 상수이다.)

이제 $C=0$이라는 것을 증명한다. $x=0$일 경우를 계산해보면

$\begin{align} \ln z &= C \\ z &= \cos x + i\sin x = \cos 0 + i \sin 0 = 1 \end{align}$

따라서

$\begin{align} \ln 1 &= C \\ C &= 0 \end{align}$

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

$\begin{align} \ln z &= ix \\ z &= e^{ix} \\ e^{ix} &= \cos x + i\sin x \end{align}$

Q.E.D.

미분방정식을 이용한 방법

함수 $g(x)$ 를 다음과 같이 정의한다.

$g(x) = e^{ix}$

허수단위 $i$ 는 상수이므로 $g(x)$의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.

$\begin{align} g'(x) &= i e^{ix} \\ g''(x) &= i^2 e^{ix} = -e^{ix} \end{align}$

이로부터

$g''(x) = -g(x) \$ 또는

$g''(x) + g(x) = 0 \$ 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,

일차 독립인 두 해가 발생한다.

$\begin{align} g_1(x) &= \cos x \\ g_2(x) &= \sin x \end{align}$

한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

$\begin{align} g(x) &= A g_1(x) + B g_2(x)\\ &= A \cos x + B \sin x\\ g'(x) &=-A \sin x + B \cos x \end{align}$

($A$와 $B$는 상수)

그리고 여기에 함수 $g(x)$ 의 초기 조건

$\begin{align} g(0) &= e^{i0} &= 1 \\ g'(0) &= i e^{i0} &= i \end{align}$ 을 대입하면,

$\begin{align} g(0) &= {\color{White}-}A \cos 0 + B \sin 0 &= A \\ g'(0) &= -A \sin 0 + B \cos 0 &= B \end{align}$

곧,

$\begin{align} g(0) &= A &= 1 \\ g'(0) &= B &= i \end{align}$

이므로

$g(x) \,=\, e^{ix} = \cos x + i \sin x$ 이다.

Q.E.D.

cis 함수

cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러의 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의된다.

$\operatorname{cis}(\theta) = e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$

이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용된다.

같이 보기

• 겔폰드 상수