오일러의 등식

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오일러의 등식1768년에 출판된 레온하르트 오일러의 책 《Introduction》에 수록된 것으로 식은 다음과 같다.

e^{i \pi} = -1 \,\!

0과 1을 드러내기 위한 의도로 다음 꼴로도 쓰인다.

e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!

여기서

e\,\!자연로그의 밑,
i\,\!허수단위,
\pi\,\!원주율이다.

식의 유도[편집]

일반각에서의 오일러의 등식.

이 식은 드 무아브르의 공식복소수까지 확장한 오일러의 공식의 특수한 경우이다.

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\! (단, x는 임의의 실수)

의 특수한 경우이다.

x = \pi\,\!를 대입하면 식은,

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!이다.

\cos \pi = -1  \, \! 이고, \sin \pi = 0\,\!이므로

e^{i \pi} = -1 \,\! 이다.

리처드 파인만은 이 식을 "수학에서 가장 비범한 식"("the most remarkable formula in mathematics")으로 불렀다. 이는 수학에서 가장 중요한 다섯 개의 상수와 네 개의 연산이 들어 있기 때문이다.