닫힌구간 [a , b ]에서 연속인 함수 f 는 최댓값 f (c )와 최솟값 f (d )를 반드시 갖는다. 미적분학 에서 최대 최소 정리 (最大最小整理, 영어 : extreme value theorem )는 닫힌구간 에 정의된 실숫값 연속 함수 는 항상 최댓값 과 최솟값 을 갖는다는 정리이다.
최대 최소 정리 에 따르면, 정의역이 콤팩트 공간
X
≠
∅
{\displaystyle X\neq \varnothing }
실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
연속 함수
f
:
X
→
R
{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }
유계 함수 이며, 최댓값 과 최솟값 을 갖는다. 즉, 다음이 성립한다.
sup
x
∈
X
f
(
x
)
=
max
x
∈
X
f
(
x
)
{\displaystyle \sup _{x\in X}f(x)=\max _{x\in X}f(x)}
inf
x
∈
X
f
(
x
)
=
min
x
∈
X
f
(
x
)
{\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)=\min _{x\in X}f(x)}
즉, 다음을 만족시키는
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
임의의
z
∈
X
{\displaystyle z\in X}
f
(
x
)
≤
f
(
z
)
≤
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)\leq f(z)\leq f(y)}
특히, 닫힌구간 에 정의된 실숫값 연속 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
귀류법 을 사용하여,
f
:
X
→
R
{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
U
x
∋
x
{\displaystyle U_{x}\ni x}
sup
y
∈
U
x
f
(
y
)
<
sup
y
∈
X
f
(
y
)
{\displaystyle \sup _{y\in U_{x}}f(y)<\sup _{y\in X}f(y)}
그렇다면,
{
U
x
}
x
∈
X
{\displaystyle \{U_{x}\}_{x\in X}}
X
{\displaystyle X}
덮개 이며,
X
{\displaystyle X}
{
U
x
1
,
…
,
U
x
n
}
{\displaystyle \{U_{x_{1}},\dots ,U_{x_{n}}\}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
(
x
)
≤
max
1
≤
k
≤
n
sup
y
∈
U
x
k
f
(
y
)
<
sup
y
∈
X
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)\leq \max _{1\leq k\leq n}\sup _{y\in U_{x_{k}}}f(y)<\sup _{y\in X}f(y)}
이며, 이는 상한의 정의와 모순이다. 따라서,
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
최대 최소 정리는 1830년대에 베르나르트 볼차노 가 '함수론'에서 증명했지만, 1930년까지는 출판되지 않았다. 볼차노의 증명은 폐구간에서 연속함수가 유계이면, 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 보인 것이다. 이 증명은 오늘날 볼차노-바이어슈트라스 정리 로 알려져 있다. 1860년에 카를 바이어슈트라스 가 그의 증명을 재발견해 냈기 때문이다.
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245)
