이항정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

이항정리(二項定理)는 이항 다항식 x + y의 거듭제곱 (x + y)^n에 대해서, 전개한 각 항 x^{k}y^{n-k}계수 값을 구하는 정리이다.

구체적으로 x^{k}y^{n-k}의 계수는 n 개 에서 k 개를 고르는 조합의 가짓수인 nCk이고, 이를 이항계수라고 부른다. 계승을 이용해 다시 쓰면 다음과 같다.

{n\choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\,k!} = {}_n{\rm C}_k.

따라서 다음의 식이 성립한다.

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}\quad\quad\quad(1)

이항계수가 삼각형의 형태로 배열되는 이 식은 종종 17세기 블레즈 파스칼의 공적으로 알려져 있으나 실제로는 이슬람, 남아시아, 동아시아 문화권 모두에서 독립적으로 미리 발견되어 있었다. 시기와 발견자는 각각 10세기 인도 수학자 할라유다, 페르시아 수학자 알카라지[1]13세기 중국의 수학자 양휘였다.[2]

예를 들어, 여기서 n = 2, n = 3 그리고 n = 4일 경우에는 다음과 같다:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\,

식 (1)은 모든 실수 또는 복소수 xy에 대하여 성립한다.

가환 환으로의 확장[편집]

이항정리를 적용하는 다항식 x + y 는 꼭 실수 또는 복소수를 계수로 갖는 다항식일 필요는 없다. 이항정리는 다항식의 계수가 임의의 가환환의 원소일 때에 성립한다.

일반 이항정리[편집]

또한 |x|<1일 때 1 + x의 임의의 복소수 α 제곱은 다음과 같이 이항급수로 테일러 전개된다. 이것을 일반 이항정리 혹은 뉴턴의 이항정리 등으로 부르기도 한다.

(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} {\alpha \choose k} x^k.

단지, 이 전개의 계수는

{\alpha \choose k} = 
\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}

가 된다. α가 자연수라면, 이는 앞에서 정의한 것과 일치한다.

다항정리[편집]

다항정리 (多項定理)란 말 그대로 항이 둘을 넘는 다항식으로 이항정리를 확장한 것으로, 항이 k개인 다항식의 제곱 (x1 + x2 + … + xk)n 에 대해 전개한 각항

\mathbf{x}^\mathbf{p} = x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_k^{p_k} \ (|\mathbf{p}|= p_1 + p_2 + \cdots + p_k = n)

의 계수를 구하는 정리이다. 다시 말하면, k가 2일 때 이항정리가 된다.

구체적으로 쓰면 (x1 + x2 + … + xk)n 의 일반항 xp (p = (p1, ..., pk), |p| = n) 의 계수는

{n \choose \mathbf{p}} = {n \choose p_1,p_2,\ldots,p_k} = \frac{n!}{p_1!\,p_2!\cdots p_k!}

이다. 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

(x_1 + x_2 + \cdots + x_k)^n = \sum_{\mathbf{p}\in \mathbb{N}^k,\,|\mathbf{p}| = n} {n \choose \mathbf{p}} \mathbf{x}^{\mathbf{p}}.

각주[편집]

  1. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  2. Landau, James A (1999-05-08). "Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM Pascal's Triangle"] (mailing list email). Archives of Historia Matematica. Retrieved 2007-04-13.