이항정리

이항정리(二項定理)는 이항 다항식 $x + y$의 거듭제곱 $(x + y)^n$에 대해서, 전개한 각 항 $x^{k}y^{n-k}$의 계수 값을 구하는 정리이다.

구체적으로 $x^{k}y^{n-k}$의 계수는 n 개 에서 k 개를 고르는 조합의 가짓수인 _nC_k이고, 이를 이항계수라고 부른다. 계승을 이용해 다시 쓰면 다음과 같다.

${n\choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\,k!} = {}_n{\rm C}_k.$

따라서 다음의 식이 성립한다.

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}\quad\quad\quad(1)$

이항계수가 삼각형의 형태로 배열되는 이 식은 종종 17세기 블레즈 파스칼의 공적으로 알려져 있으나 실제로는 이슬람, 남아시아, 동아시아 문화권 모두에서 독립적으로 미리 발견되어 있었다. 시기와 발견자는 각각 10세기 인도 수학자 할라유다, 페르시아 수학자 알카라지와 13세기 중국의 수학자 양휘였다.

예를 들어, 여기서 n = 2, n = 3 그리고 n = 4일 경우에는 다음과 같다:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.\,$

식 (1)은 모든 실수 또는 복소수 x와 y에 대하여 성립한다.

가환 환으로의 확장

이항정리를 적용하는 다항식 x + y 는 꼭 실수 또는 복소수를 계수로 갖는 다항식일 필요는 없다. 이항정리는 다항식의 계수가 임의의 가환환의 원소일 때에 성립한다.

일반 이항정리

또한 |x|<1일 때 1 + x의 임의의 복소수 α 제곱은 다음과 같이 이항급수로 테일러 전개된다. 이것을 일반 이항정리 혹은 뉴턴의 이항정리 등으로 부르기도 한다.

$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} {\alpha \choose k} x^k.$

단지, 이 전개의 계수는

${\alpha \choose k} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$

가 된다. α가 자연수라면, 이는 앞에서 정의한 것과 일치한다.

다항정리

다항정리 (多項定理)란 말 그대로 항이 둘을 넘는 다항식으로 이항정리를 확장한 것으로, 항이 k개인 다항식의 제곱 (x₁ + x₂ + … + x_k)ⁿ 에 대해 전개한 각항

$\mathbf{x}^\mathbf{p} = x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_k^{p_k} \ (|\mathbf{p}|= p_1 + p_2 + \cdots + p_k = n)$

의 계수를 구하는 정리이다. 다시 말하면, k가 2일 때 이항정리가 된다.

구체적으로 쓰면 (x₁ + x₂ + … + x_k)ⁿ 의 일반항 x^p (p = (p₁, ..., p_k), |p| = n) 의 계수는

${n \choose \mathbf{p}} = {n \choose p_1,p_2,\ldots,p_k} = \frac{n!}{p_1!\,p_2!\cdots p_k!}$

이다. 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_k)^n = \sum_{\mathbf{p}\in \mathbb{N}^k,\,|\mathbf{p}| = n} {n \choose \mathbf{p}} \mathbf{x}^{\mathbf{p}}.$