거듭제곱 급수

거듭제곱 급수 또는 멱급수(power series)는 아래와 같은 $x-c$의 거듭제곱을 갖는 무한급수 형태이다. 이 급수는 변수계수를 갖는 선형 미분방정식을 풀이하는 표준적인 기본해법으로 이용되며, 거듭제곱 급수는 해의 수치값을 계산하거나, 특성을 조사할 때, 해들의 다른 종류의 표현식을 표현하는 데 사용할 수 있다.

$\sum\limits_{m=0}^{\infty }{a_{m}\left( x-c \right)^{m}=a_{0}+a_{1}\left( x-c \right)+a_{2}\left( x-c \right)^{2}\cdots }$

수렴반경

거듭제곱 급수는 어떤 값을 가질 때는 수렴하지만 어떤 경우에는 발산할 수도 있다. 우선 모든 거듭제곱 급수는 x = c에서 수렴한다. 이때 어떤 양수 r이 존재하여 $|x - c| < r$에서는 수렴하고 $|x - c| > r$에서는 발산한다. 이러한 r을 거듭제곱 급수의 수렴반경(Radius of convergence)라고 부른다. 일반적으로 다음과 같이 구할 수 있다.(코시-아다마르 정리)

$r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$

또는

$r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}$

보다 쉽게 계산하는 방법도 있다. 다음의 식의 극한값이 존재할 경우 그 값이 수렴반경이다.

$r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|$

거듭제곱 급수는 $|x-c|<r$에서는 절대 수렴하며, 집합 {x : |x - c| < r}의 컴팩트 부분집합에서 균등수렴한다.

$|x-c|=r$의 경우 수렴인지 발산인지 판단하는 일반적인 방법은 없으나, 관련된 유용한 정리로 아벨의 극한 정리가 있다.

미분방정식

위의 식을 이용해 다음의 미분방정식을 풀 수 있다.

$y''+p\left( x \right)y'+q\left( x \right)y=r\left( x \right)$

를 만족시키는 y를 거듭제곱급수 형태로 가정하고 풀어낸다. 단, $p\left( x \right),q\left( x \right),r\left( x \right)$가 $x=x_{o}$에서 해석적(analytic)이어야 한다.

참고 도서

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC.. ISBN 0-471-15496-2