삼각 치환

미적분학에서 삼각 치환(三角置換, 영어: trigonometric substitution)은 변수를 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.

정의

삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.^:342

$R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}),\;R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})$

여기서 $R$는 유리 함수이며 $a>0$이다. 이는 $R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})$의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 $x$를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.^:533:51

적분	치환				항등식
$\int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\sin \theta$	$-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2$	${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos \theta$	$\mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta$	$1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta$
	$x=a\cos \theta$	$0\leq \theta \leq \pi$	${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\sin \theta$	$\mathrm {d} x=-a\sin \theta \mathrm {d} \theta$	$1-\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta$
$\int R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\tan \theta$	$-\pi /2<\theta <\pi /2$	${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec \theta$	$\mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta$	$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$
	$x=a\cot \theta$	$0<\theta <\pi$	${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\csc \theta$	$\mathrm {d} x=-a\csc ^{2}\theta \mathrm {d} \theta$	$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$
$\int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\sec \theta$	$0\leq \theta \leq \pi \land \theta \neq \pi /2$	${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}={\begin{cases}a\tan \theta &x>a\land 0\leq \theta <\pi /2\\-a\tan \theta &x<-a\land \pi /2<\theta \leq \pi \end{cases}}$	$\mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta$	$\sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta$
	$x=a\csc \theta$	$-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\land \theta \neq 0$	${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}={\begin{cases}a\cot \theta &x>a\land 0<\theta \leq \pi /2\\-a\cot \theta &x<-a\land -\pi /2\leq \theta <0\end{cases}}$	$\mathrm {d} x=-a\csc \theta \cot \theta \mathrm {d} \theta$	$\csc ^{2}\theta -1=\cot ^{2}\theta$

새 변수 $\theta$의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.^:533 쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.^:342:482

예

${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$이 들어간 적분

$\theta$에 대한 삼각 함수를 다시 $x$로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

다음과 같은 적분을 구하자.^{:49, Example 1:249, 例6.2.8}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$

여기서 $a>0$이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용하자.

$x=a\sin \theta ,\;{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos \theta ,\;\mathrm {d} x=a\cos \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arcsin {\frac {x}{a}}$

그러면 다음을 얻는다.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$	$=\int {\frac {a\cos \theta \mathrm {d} \theta }{a\cos \theta }}$	(치환)
	$=\int \mathrm {d} \theta$	(단순화)
	$=\theta +C$	(적분)
	$=\arcsin {\frac {x}{a}}+C$	(재치환)

이 적분은 $x/a=t$와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{:252, 例6.2.14}

$\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} x$	$=\int a^{2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta$	(치환)
	$=\int {\frac {a^{2}}{2}}(1+\cos 2\theta )\mathrm {d} \theta$	(삼각 항등식)
	$={\frac {a^{2}}{2}}\theta +{\frac {a^{2}}{4}}\sin 2\theta +C$	(적분)
	$={\frac {a^{2}}{2}}\theta +{\frac {a^{2}}{2}}\sin \theta \cos \theta +C$	(삼각 항등식)
	$={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {a^{2}}{2}}\cdot {\frac {x}{a}}\cdot {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{a}}+C$	(재치환)
	$={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C$	(단순화)

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$이 들어간 적분

$\theta$에 대한 삼각 함수를 다시 $x$로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

다음을 구하자.^{:48, Example 1}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}}}$

여기서 $a>0$이다. 다음을 사용하자.

$x=a\tan \theta ,\;{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec \theta ,\;\mathrm {d} x=a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\arctan {\frac {x}{a}}$

그러면 다음을 얻는다.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{a^{2}+x^{2}}}$	$=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}$	(치환)
	$=\int {\frac {1}{a}}\mathrm {d} \theta$	(단순화)
	$={\frac {\theta }{a}}+C$	(적분)
	$={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C$	(재치환)

이 적분은 치환 $x/a=t$ 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{:253, 例6.2.16}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$	$=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta }{a\sec \theta }}$	(치환)
	$=\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }}$	(단순화)
	$=\int {\frac {\cos \theta \mathrm {d} \theta }{\cos ^{2}\theta }}$	(변형)
	$=\int {\frac {\mathrm {d} (\sin \theta )}{1-\sin ^{2}\theta }}$	(치환)
	$={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C$	(적분)
	$={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right|^{2}+C$	(삼각 항등식)
	$=\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C$	(삼각 항등식)
	$=\ln \left|{\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{a}}+{\frac {x}{a}}\right|+C$	(재치환)
	$=\ln \left|x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right|+C$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 $x=a\sinh t$을 통해서도 구할 수 있다.

${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$이 들어간 적분

$\theta$에 대한 삼각 함수를 다시 $x$로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

편의상 $x>0$이라고 하고 다음을 구하자.^{:50, Example 1}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$

여기서 $a>0$이다. 다음을 사용하자.

$x=a\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a|\tan \theta |,\;\mathrm {d} x=a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}$

그러면 다음을 얻는다.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}$	$=\int {\frac {a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }{a^{2}\sec \theta |\tan \theta |}}$	(치환)
	$={\begin{cases}\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} \theta }{a}}&x>a\\\displaystyle -\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{a}}&x<-a\end{cases}}$	(단순화)
	$={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\theta }{a}}+C&x>a\\\displaystyle -{\frac {\theta }{a}}+C'&x<-a\end{cases}}$	(적분)
	$={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{a}}\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+C&x>a\\\displaystyle -{\frac {1}{a}}\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+C'&x<-a\end{cases}}$	(재치환)

이 적분은 치환 $x/a=t$ 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^{:253, 例6.2.15}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$	$=\int {\frac {a\sec \theta \tan \theta \mathrm {d} \theta }{a|\tan \theta |}}$	(치환)
	$={\begin{cases}\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }}&x>a\\\displaystyle -\int {\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos \theta }}&x<-a\end{cases}}$	(단순화)
	$={\begin{cases}\displaystyle \ln |\sec \theta +\tan \theta |+C&x>a\\\displaystyle -\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C'&x<-a\end{cases}}$	(적분)
	$={\begin{cases}\displaystyle \ln \left|{\frac {x}{a}}+{\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}\right|+C&x>a\\\displaystyle -\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}\right|+C'&x<-a\end{cases}}$	(재치환)
	$={\begin{cases}\displaystyle \ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C&x>a\\\displaystyle -\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C'&x<-a\end{cases}}$	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환 $x=a\cosh t$를 통해서도 구할 수 있다.

정적분

다음과 같은 적분을 구하자.^{:536, Example 4}

$\int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x$

다음을 사용하자.

$x={\sqrt {3}}\sec \theta ,\;{\sqrt {x^{2}-3}}={\sqrt {3}}\tan \theta ,\;\mathrm {d} x={\sqrt {3}}\sec \theta \tan \theta ,\;\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}$

만약 $x={\sqrt {3}}$일 경우 $\cos \theta =1$이므로 $\theta =0$이며, 만약 $x=2$일 경우 $\cos \theta ={\sqrt {3}}/2$이므로 $\theta =\pi /6$이다. 따라서 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\int _{\sqrt {3}}^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-3}}{x}}\mathrm {d} x&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}\tan ^{2}\theta \mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\pi /6}(\sec ^{2}\theta -1)\mathrm {d} \theta \\&={\sqrt {3}}{\bigg [}\tan \theta -\theta {\bigg ]}_{0}^{\pi /6}\\&=1-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}\end{aligned}}$

같이 보기

• 바이어슈트라스 치환

외부 링크

• 이철희. “삼각치환”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Trigonometric substitution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.