삼각치환적분

삼각 치환 적분은 적분법 중 하나로, 변수를 직접 적분하기 어려울 때 삼각함수의 성질을 이용하기 위해 변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.

배경 원리

삼각함수를 기하학적으로 정의했을 때, 각 함수의 함수값은 단위원 위의 어느 한 점의 x좌표, y좌표와 반지름 세 값의 비율과 같다. 함수가 단위원 위에 있으므로 피타고라스 정리를 이용하면

$\ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$

$\ \tan ^2 \theta + 1 = \sec ^2 \theta$

$\ \cot ^2 \theta + 1 = \csc ^2 \theta$

와 같은 성질이 성립한다. 이러한 성질을 이용하여 원래의 변수를 적절한 삼각함수로 치환하면 식이 매우 간단해지는 경우가 있다. 주로 $a^2-x^2$ 의 형태가 들어있는 함수의 경우 $x\,=\,a\sin\theta$나 $x\,=\,a\cos\theta$로 치환하며 $x^2+a^2$꼴에는 $x\,=\,a\tan\theta$꼴 등으로 치환하는 식이다.

정적분도 같은방법으로 하면 되는데, 이때는 적분구간에 주의해야 한다.

예

$a^2-x^2$이 들어간 식을 적분할 때

$\int_{}^{} {{1}\over{a^2-x^2}}\, dx$

를 구할때,

$x\,=\,a \sin \theta$

$dx\,=\,a \cos \theta{d\theta}$

또는

$x\,=\,a \cos \theta$

$dx\,=\,-a \sin \theta{d\theta}$

로 치환하면

$\int_{}^{}{{a \cos \theta}\over{a^2 - {a^2} {\sin^2\theta}}\, }{d\theta} = \int_{}^{}{{a \cos \theta}\over{a^2(1-\sin^2\theta})\, }{d\theta}$

또는

$\int_{}^{}{{-a \sin \theta}\over{a^2 - {a^2} {\cos^2\theta}}\, }{d\theta} = \int_{}^{}{{-a \sin \theta}\over{a^2(1-\cos^2\theta})\, }{d\theta}$

삼각함수 항등식에 의하여

$\int_{}^{}{{a \cos \theta}\over{a^2}{\cos^2\theta}\, }{d\theta}$

또는

$\int_{}^{}{{-a \sin \theta}\over{a^2}{\sin^2\theta}\, }{d\theta}$

$x^2+a^2$이 들어간 식을 적분할 때

$\int_{}^{} {{1}\over{x^2+a^2}}\, dx$

를 구할때,

$x\,=\,a \tan \theta$

로 치환하면,

$dx\,=\,a \sec^2 \theta d\theta$

$x^2+a^2 \,=\, a^2\tan^2\theta + a^2 \,=\, a^2\sec^2\theta$

이므로,

$\int_{}^{} {{1}\over{x^2+a^2}}\, dx = \int_{}^{} {{{1}\over{a^2\sec^2\theta}} \cdot a\sec^2\theta d\theta}=\int_{}^{}{1\over a}d\theta={\theta\over a}={1\over a}\arctan {x\over a}$

가 된다.

같이 보기

• 바이어슈트라스 치환법
• 쌍곡치환적분