삼각치환적분

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미적분학
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삼각 치환 적분적분법 중 하나로, 변수를 직접 적분하기 어려울 때 삼각함수의 성질을 이용하기 위해 변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.

배경 원리[편집]

삼각함수를 기하학적으로 정의했을 때, 각 함수의 함수값은 단위원 위의 어느 한 의 x좌표, y좌표와 반지름 세 값의 비율과 같다. 함수가 단위원 위에 있으므로 피타고라스 정리를 이용하면

\ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1
\ \tan ^2 \theta + 1 = \sec ^2 \theta
\ \cot ^2 \theta + 1 = \csc ^2 \theta

와 같은 성질이 성립한다. 이러한 성질을 이용하여 원래의 변수를 적절한 삼각함수로 치환하면 식이 매우 간단해지는 경우가 있다. 주로 a^2-x^2 의 형태가 들어있는 함수의 경우 x\,=\,a\sin\thetax\,=\,a\cos\theta로 치환하며 x^2+a^2꼴에는 x\,=\,a\tan\theta꼴 등으로 치환하는 식이다.

정적분도 같은방법으로 하면 되는데, 이때는 적분구간에 주의해야 한다.

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a^2-x^2이 들어간 식을 적분할 때[편집]

\int_{}^{} {{1}\over{a^2-x^2}}\, dx

를 구할때,

x\,=\,a \sin \theta

dx\,=\,a \cos \theta{d\theta}

또는

x\,=\,a \cos \theta

dx\,=\,-a \sin \theta{d\theta}

로 치환하면

\int_{}^{}{{a \cos \theta}\over{a^2 - {a^2} {\sin^2\theta}}\, }{d\theta} = \int_{}^{}{{a \cos \theta}\over{a^2(1-\sin^2\theta})\, }{d\theta}

또는

\int_{}^{}{{-a \sin \theta}\over{a^2 - {a^2} {\cos^2\theta}}\, }{d\theta} = \int_{}^{}{{-a \sin \theta}\over{a^2(1-\cos^2\theta})\, }{d\theta}

삼각함수 항등식에 의하여

\int_{}^{}{{a \cos \theta}\over{a^2}{\cos^2\theta}\, }{d\theta}

또는

\int_{}^{}{{-a \sin \theta}\over{a^2}{\sin^2\theta}\, }{d\theta}

x^2+a^2이 들어간 식을 적분할 때[편집]

\int_{}^{} {{1}\over{x^2+a^2}}\, dx

를 구할때,

x\,=\,a \tan \theta

로 치환하면,

dx\,=\,a \sec^2 \theta d\theta
x^2+a^2 \,=\, a^2\tan^2\theta + a^2 \,=\, a^2\sec^2\theta

이므로,

\int_{}^{} {{1}\over{x^2+a^2}}\, dx = \int_{}^{} {{{1}\over{a^2\sec^2\theta}} \cdot a\sec^2\theta d\theta}=\int_{}^{}{1\over a}d\theta={\theta\over a}={1\over a}\arctan {x\over a}

가 된다.

같이 보기[편집]