허수부

복소평면의 표현, 허수부는 여기서 어떤 점의 y좌표를 의미한다.

복소수 z의 허수부(imaginary part of complex number)란, 수학에서 z = x+iy를 나타내는 실수 순서쌍 z=(x,y)의 두 번째 성분을 말하고 $\mathrm{Im} \, z$로 나타낸다. 이렇게 어떤 복소수에서 허수부를 얻어내는 함수는 정칙(holomorphic)이 아니다.

복소켤레를 사용하면 실수부는 다음과 같이 정의될 수도 있다.

$\mathrm{Im} \, z = \frac{z-z^*}{2i}$

극형식을 사용해 나타낸 복소수 $z = re^{\theta}$의 경우엔 오일러의 공식에 의해 좌표가

$z = (r\cos \theta , \, r\sin \theta)$ 이므로, 허수부는

$\mathrm{Im} \, z = r \sin \theta \;$이다.

성질

허수부를 나타내는 함수 Im z는 다음과 같은 성질을 가지고 있다. z,w가 임의의 복소수라 하면, 다음이 성립한다.

$\mathrm{Im} \, (-z) = - \mathrm{Im} \, z$

$\mathrm{Im} \, (z+w) = \mathrm{Im} \, z + \mathrm{Im} \, w \;$

$\mathrm{Im} \, (iz) = \mathrm{Re} \, z \;$

같이보기

• 실수부