조립제법

조립제법(組立除法, Synthetic division)이란 적은 계산과 기호의 표기로 다항식의 긴 나눗셈(Polynomial long division)을 수행하는 방법이다. 특별히 일차식으로 나눗셈을 할 경우 Ruffini의 규칙(Ruffini's rule) 이라고 하고, 이 Ruffini의 규칙을 이용한 알고리즘을 Horner scheme 이라고 한다.

이 조립제법은 최고차 항의 계수가 1인 다항식으로 나눌 때만 적용가능하다. 1이 아닌 경우는 조립제법 이후에 계수를 조정하는 별도의 계산이 필요하다.

일차항 계수가 1인 일차식으로 나누기의 예

다음 나눗셈을 수행하려고 한다.

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3}$

먼저 피제수의 모든 계수를 내림차순의 순서로 쓴다. 이때, 보이지 않는 항까지 모두 써야 한다. (이 예에서는 일차식의 계수에 해당한다)

$\begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & & \\ \hline \end{array} \end{array}$

제수의 계수의 부호를 바꾼다.

$\begin{array}{rr} -1x & + 3 \end{array}$

제수의 최고차항을 제외한 나머지 계수를 세로줄의 왼쪽에 쓴다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ 3 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & & \\ \hline \end{array} \end{array}$

첫 번째 계수는 그대로 내려온다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & & \\ \hline 1 & & & \\ \end{array} \end{array}$

그 다음 맨 좌측선 너머에 쓴 수(여기서는 3)와 내려온 계수를 곱하여 그 피제수의 다음 계수 아래쪽에 쓴다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & 3 & & \\ \hline 1 & & & \\ \end{array} \end{array}$

같은 열에 위치한 가로선 위쪽의 이 값을 더하여 가로선 아래쪽에 쓴다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & 3 & & \\ \hline 1 & -9 & & \\ \end{array} \end{array}$

이전의 두 단계를 반복하여 마지막까지 쓴다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & 3 & -27 & -81 \\ \hline 1 & -9 & -27 & -123 \end{array} \end{array}$

일차식으로 나누었으므로, 가로줄 아래쪽에 나열된 수 중에서 가장 우측의 수는 나머지를 의미하고, 나머지 수들은 내림차순으로 몫의 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3} = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x - 3}$

일차항 계수가 1이 아닌 일차식으로 나누기의 예

다음 나눗셈을 수행하려고 한다.

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3}$

먼저 피제수의 모든 계수를 내림차순의 순서로 쓴다. 이때, 보이지 않는 항까지 모두 써야 한다. (이 예에서는 일차식의 계수에 해당한다)

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{r} \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & & \\ \hline & & & \\ & & & \\ \end{array} \end{array}$

나누는 식의 상수항을 반대 부호로 하여 세로줄의 왼쪽에 쓴다. 나누는 식의 최고차항 계수 2는 부호를 바꾸지 않고 나누기 기호 /를 그 좌측에 붙여서(즉 /2 기호로 히여) 가로줄 밑, 세로줄 바로 좌측에 적어준다.

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & & \\ \hline & & & \\ & & & \\ \end{array} \end{array}$

첫 번째 계수는 그대로 내려온다. 그대로 내려온 것을 2로 나누어(즉 /2 하여) 그 밑에 적는다.

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & & \\ \hline 1 & & & \\ 1/2 & & & \\ \end{array} \end{array}$

앞에서 마지막에 적었던 1/2에 3을 곱하여 다음 열의 가로줄 바로 위에 적어 준다.

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & 3/2 & & \\ \hline 1 & & & \\ 1/2 & & & \\ \end{array} \end{array}$

방금 적었던 3/2은 그 위의 -12와 합한 값을 가로 줄 바로 밑에 적어 주고, 또 이를 /2 하여 또 바로 그 밑에 적어준다.

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & 3/2 & & \\ \hline 1 & -21/2 & & \\ 1/2 & -21/4 & & \\ \end{array} \end{array}$

앞에서 마지막에 적었던 -21/4에 3을 곱하여 다음 열의 가로줄 바로 위에 적어 준다.

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & 3/2 & -63/4 & \\ \hline 1 & -21/2 & & \\ 1/2 & -21/4 & & \\ \end{array} \end{array}$

방금 적었던 -63/4은 그 위의 0과 합한 값을 가로 줄 바로 밑에 적어 주고, 또 이를 /2 하여 또 바로 그 밑에 적어준다.

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & 3/2 & -63/4 & \\ \hline 1 & -21/2 & -63/4 & \\ 1/2 & -21/4 & -63/8 & \\ \end{array} \end{array}$

이전의 단계를 계속 반복한다. 마지막 단계에서는 /2(나누기 2)를 하지 않는다.

$\begin{array}{ccc} \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & 3/2 & -63/4 & -189/8 \\ \hline 1 & -21/2 & -63/4 & -525/8 \\ 1/2 & -21/4 & -63/8 & \\ \end{array} \end{array}$

일차식 2x - 3으로 나누었으므로, 수평줄 바로 아래쪽에 나열된 수 중에서 가장 우측의 수 -525/8은 나머지를 의미하고, 수평줄의 아래 아래에 놓인 수들(즉 가장 밑에 놓인 수들)은 몫의 내림차순 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3} = \frac{1}{2} x^2 - \frac{21}{4} x - \frac{63}{8} + \frac{-\frac{525}{8}}{2x - 3}$

최고차항 계수가 1인 이차식으로 나누는 조립제법의 예

이러한 조립제법은 제수의 차수가 더 높은 경우에도 사용가능하다. 다음의 예를 살펴보자.

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3}$

먼저 피제수의 계수를 모두 쓴다.

$\begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \end{array}$

제수의 계수의 부호를 바꾼다.

$\begin{array}{rrr} -1x^2 &-1x &+3 \end{array}$

제수의 최고차항을 제외한 나머지 계수들을 대각선 방향으로 써 내려간다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & & \\ & & & \\ \hline \end{array} \end{array}$

피제수의 첫 번째 계수는 그대로 내려온다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & & \\ & & & \\ \hline 1 & & & \\ \end{array} \end{array}$

내려간 계수는 좌측의 값과 곱하여 대각선 위로 올라간다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & 3 & \\ & -1 & & \\ \hline 1 & & & \\ \end{array} \end{array}$

가로선 위쪽의 같은 열의 수들을 세로로 더해서 가로선 아래쪽에 쓴다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & 3 & \\ & -1 & & \\ \hline 1 & -13 & & \\ \end{array} \end{array}$

이전의 두 단계를 반복하여 끝까지 계산한다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & 3 & -39 \\ & -1 & 13 & \\ \hline 1 & -13 & 16 & \\ \end{array} \end{array}$

마지막 부분을 더해서 아래쪽에 쓴다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -12 & 0 & -42 \\ & & 3 & -39 \\ & -1 & 13 & \\ \hline 1 & -13 & 16 & -81 \\ \end{array} \end{array}$

이차식으로 나누었으므로, 가로줄 아래쪽에 나열된 수 중에서 우측 두 수는 나머지의 계수를 의미하고, 나머지 수들은 내림차순으로 몫의 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}$