조립제법

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조립제법(組立除法, Synthetic division)이란 간단히 곱셈과 덧셈으로만 이루어지는 적은 계산과,다항식을 내림차순으로 정리하여 계수들만 표기하는 간단한 계수들의 조립으로 다항식의 긴 나눗셈(Polynomial long division)을 보다 효율적이고 간단하게 수행하는 방법이다.

어떤 다항식을 특별히 일차식으로 나눗셈을 할 경우,Ruffini의 규칙(Ruffini's rule) 이라 한다.이 규칙은 나누는 수(일차식)의 상수항의 부호에 (-1)을 곱하여 그 수를 중심으로 삼아, 뺄셈을 덧셈과 곱셈형식으로 전환시키는 원리를 지니고있다. 이 원리를 토대로 조립제법은 직접하는 다항식의 나눗셈의 뺄셈과정보다 더 익숙한 덧셈과 곱셈과정만으로 답을 추구할 수 있다는 의의를 지니고 있다.

이 부분에서 정의한 조립제법은 최고차항의 계수가 1인 다항식으로 나눌 때의 경우만 가능하다. 따라서 최고차항의 계수가 1이 아닌 경우는 1인경우로 변형하여 조립제법을 한 다음, 구해진 몫의 계수를 조정하는 별도의 계산이 필요할 수 밖에 없다.

조립제법의 뜻 풀이[편집]

조립제법(Synthetic division)을 영어로 직역하면

(종합적으로) 합성한 나눗셈을 의미하는데, 이는 나누어지는 다항식(피제수)의 각 항들을 내림차순으로 정리하여 계수들만 정렬시키고, 나눌 다항식(제수)의 상수항에 (-1)을 곱함으로써 부호를 바꾼 항을 왼쪽 칸에 배열시키켜 계수들을 합성시키는 이 과정에 초점을 맞춰이름을 지었다고 할 수 있다.


조립제법(組立除法)은 Synthetic division를 한자어로 번역한 것으로, 의미는 대체적으로 같다. 피제수와 제수의 각 계수들을 특정하게 배열(組)하여 알맞게 조립제법의 형태를 세우고(立) 이 형식으로 나눗셈을 수행하는것(除)을 의미한다.


조립제법의 이름은 조립제법을 하는 방법에 초점을 두어 정의되었다. 무엇보다 간편한 나눗셈을 수행하기위해, 조립제법을 하는 방법을 강조하고있는데에 초점을 둔 것이다..

일차항 계수가 1인 일차식으로 나누기의 예[편집]

다음 나눗셈을 수행하려고 한다.

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3}

먼저 피제수의 모든 계수를 내림차순의 순서로 쓴다. 이때, 보이지 않는 항까지 모두 써야 한다. (이 예에서는 일차식의 계수에 해당한다)

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\  \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
    \end{array}
\end{array}

제수의 계수의 부호를 바꾼다.

	\begin{array}{rr} 
     -1x & + 3
\end{array}

제수의 최고차항을 제외한 나머지 계수를 세로줄의 왼쪽에 쓴다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
    \end{array}
\end{array}

첫 번째 계수는 그대로 내려온다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
        1 &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

그 다음 맨 좌측선 너머에 쓴 수(여기서는 3)와 내려온 계수를 곱하여 그 피제수의 다음 계수 아래쪽에 쓴다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &   3 &   &     \\
        \hline 
        1 &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

같은 열에 위치한 가로선 위쪽의 이 값을 더하여 가로선 아래쪽에 쓴다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &   3 &   &     \\
        \hline 
        1 &  -9 &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

이전의 두 단계를 반복하여 마지막까지 쓴다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ 3 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & -12 &   0 &  -42 \\
          &   3 & -27 &  -81 \\
        \hline 
        1 &  -9 & -27 & -123 
    \end{array}
\end{array}

일차식으로 나누었으므로, 가로줄 아래쪽에 나열된 수 중에서 가장 우측의 수는 나머지를 의미하고, 나머지 수들은 내림차순으로 몫의 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.[1]

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3} = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x - 3}


일차항 계수가 1이 아닌 일차식으로 나누기의 예[편집]

다음 나눗셈을 수행하려고 한다.

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3}

먼저 피제수의 모든 계수를 내림차순의 순서로 쓴다. 이때, 보이지 않는 항까지 모두 써야 한다. (이 예에서는 일차식의 계수에 해당한다)

\begin{array}{ccc}
    \begin{array}{r} \\  \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
          &     &   &     \\
          &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

나누는 식의 상수항을 반대 부호로 하여 세로줄의 왼쪽에 쓴다. 나누는 식의 최고차항 계수 2는 부호를 바꾸지 않고 나누기 기호 /를 그 좌측에 붙여서(즉 /2 기호로 히여) 가로줄 밑, 세로줄 바로 좌측에 적어준다.

\begin{array}{ccc}
    \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\  \\ & /2 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
          &     &   &     \\
          &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

첫 번째 계수는 그대로 내려온다. 그대로 내려온 것을 2로 나누어(즉 /2 하여) 그 밑에 적는다.

\begin{array}{ccc}
    \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
        1 &     &   &     \\
        1/2  &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

앞에서 마지막에 적었던 1/2에 3을 곱하여 다음 열의 가로줄 바로 위에 적어 준다.

\begin{array}{ccc}
    \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          & 3/2 &   &     \\
        \hline 
        1    &   &   &     \\
        1/2  &  &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

방금 적었던 3/2은 그 위의 -12와 합한 값을 가로 줄 바로 밑에 적어 주고, 또 이를 /2 하여 또 바로 그 밑에 적어준다.

\begin{array}{ccc}
    \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          & 3/2 &   &     \\
        \hline 
        1    & -21/2  &   &     \\
        1/2  & -21/4 &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

앞에서 마지막에 적었던 -21/4에 3을 곱하여 다음 열의 가로줄 바로 위에 적어 준다.

\begin{array}{ccc}
    \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrrr} 
        1 & -12 &     0 & -42 \\
          & 3/2 & -63/4 &     \\
        \hline 
        1    & -21/2 &   &     \\
        1/2  & -21/4 &   &     \\
    \end{array}
\end{array}

방금 적었던 -63/4은 그 위의 0과 합한 값을 가로 줄 바로 밑에 적어 주고, 또 이를 /2 하여 또 바로 그 밑에 적어준다.

\begin{array}{ccc}
    \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrrr} 
        1 & -12 &     0 & -42 \\
          & 3/2 & -63/4 &     \\
        \hline 
        1    & -21/2 & -63/4  &     \\
        1/2  & -21/4 & -63/8  &     \\
    \end{array}
\end{array}

이전의 단계를 계속 반복한다. 마지막 단계에서는 /2(나누기 2)를 하지 않는다.

\begin{array}{ccc}
    \begin{array}{rrrr} \\ 3 & \\ \\ & /2 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrrr} 
        1 & -12 &     0 & -42 \\
          & 3/2 & -63/4 & -189/8 \\
        \hline 
        1    & -21/2 & -63/4  & -525/8 \\
        1/2  & -21/4 & -63/8 &     \\
    \end{array}
\end{array}

일차식 2x - 3으로 나누었으므로, 수평줄 바로 아래쪽에 나열된 수 중에서 가장 우측의 수 -525/8은 나머지를 의미하고, 수평줄의 아래 아래에 놓인 수들(즉 가장 밑에 놓인 수들)은 몫의 내림차순 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.[2]

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{2x - 3} = \frac{1}{2} x^2 - \frac{21}{4} x - \frac{63}{8} + \frac{-\frac{525}{8}}{2x - 3}

최고차항 계수가 1인 이차식으로 나누는 조립제법의 예[편집]

이러한 조립제법은 제수의 차수가 더 높은 경우에도 사용가능하다. 다음의 예를 살펴보자.

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3}

먼저 피제수의 계수를 모두 쓴다.

	\begin{array}{|rrrr} 
     1 & -12 & 0 & -42 
\end{array}

제수의 계수의 부호를 바꾼다.

	\begin{array}{rrr} 
     -1x^2 &-1x &+3
\end{array}

제수의 최고차항을 제외한 나머지 계수들을 대각선 방향으로 써 내려간다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
          &     &   &     \\
        \hline 
    \end{array}
\end{array}

피제수의 첫 번째 계수는 그대로 내려온다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     &   &     \\
          &     &   &     \\
        \hline 
        1 &     &   &     \\    
    \end{array}
\end{array}

내려간 계수는 좌측의 값과 곱하여 대각선 위로 올라간다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     & 3 &     \\
          &  -1 &   &     \\
        \hline 
        1 &     &   &     \\    
    \end{array}
\end{array}

가로선 위쪽의 같은 열의 수들을 세로로 더해서 가로선 아래쪽에 쓴다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 & 0 & -42 \\
          &     & 3 &     \\
          &  -1 &   &     \\
        \hline 
        1 & -13 &   &     \\    
    \end{array}
\end{array}

이전의 두 단계를 반복하여 끝까지 계산한다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 &  0 & -42 \\
          &     &  3 & -39 \\
          &  -1 & 13 &     \\
        \hline 
        1 & -13 & 16 &     \\    
    \end{array}
\end{array}

마지막 부분을 더해서 아래쪽에 쓴다.

\begin{array}{cc}
    \begin{array}{rr} \\ &3 \\ -1& \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & -12 &  0 & -42 \\
          &     &  3 & -39 \\
          &  -1 & 13 &     \\
        \hline 
        1 & -13 & 16 & -81 \\    
    \end{array}
\end{array}

이차식으로 나누었으므로, 가로줄 아래쪽에 나열된 수 중에서 우측 두 수는 나머지의 계수를 의미하고, 나머지 수들은 내림차순으로 몫의 계수들을 의미하게 된다. 그리하여 나눗셈의 결과는 다음과 같음을 알 수 있다.[1]

\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x^2 + x - 3} = x - 13 + \frac{16x - 81}{x^2 + x - 3}

주석[편집]

  1. 여기서 예시한 계산은 모두 영문 위키피디아에 있는 내용을 그대로 가져온 것임.
  2. 손으로 계산하는 조립제법표