0으로 나누기

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y = \frac{1}{x}꼴의 반비례 그래프. x값이 0에 가까워질수록 y값은 무한대에 가까워진다.

0으로 나누기는 어떤 숫자를 0으로 나누는 나눗셈을 수행하는 것을 말하나, 일반적으로 나눗셈 연산은 0으로 나누는 경우를 정의하지 않기 때문에 수학적 의미는 없다. 이것은 미해결 문제나 연구 금기 사항이 아니며, 단지 값을 정의할 필요가 없을 뿐이다.

일반적으로 A÷B와 같은 나눗셈의 나머지는 나누는 수 B보다 반드시 작아야하는데, 어떤 수를 0으로 나누어 임의의 몫을 구하면 항상 나머지가 0이므로 이러한 나눗셈의 몫이 존재하다고 보장할 수 있는 근거가 없기 때문에 답이 존재하지 않다는 결론을 내릴 수밖에 없고, 따라서 0으로 나누는 나눗셈을 정의할 필요가 없는 것이다. 따라서 위의 반비례 그래프는 x=0일때의 함숫값 y가 존재한다고 보여주는 근거가 전혀 못 된다.

몇몇 이론의 경우는 제한적인 형태로 x÷0와 같은 형태를 정의하기도 하며, 또는 단순히 숫자 값이 아니라 분수 자체를 기호로 사용할 경우도 있다.

컴퓨터 프로그래밍에서는 어떤 수를 0으로 나누는 경우 오류를 발생시키거나, NaN을 반환한다. 그 이유는 컴퓨터 프로그래밍은 A÷B의 몫을 A에 B로 몇 번 뺄 수 있느냐로 인식하기때문이다.[출처 필요]

개요[편집]

나눗셈은 일반적으로 곱셈의 역연산으로 정의된다. 즉, 어떤 y와 z에 대해

x \times y = z

인 x가 유일할 때, 나눗셈은

x = z \div y

와 같이 정의된다.

이때 y가 0일 경우 x의 값에 관계없이 z는 항상 0이 되고,

x \times 0 = 0

에서 x의 가능성은 무한히 많아 하나로 정해지지 않는다. 따라서 x는 위의 정의에 따라 존재하지 않는다.

어떤 수를 0으로 나누는 것은 불가능하지만, 0을 0 아닌 수로 나누는 것은 가능하다. 0 아닌 수로 나누는 것은 그 수의 역수를 곱하는 것이고, 0에 어떤 수를 곱해도 0이 되므로, 0을 0 아닌 수로 나눈 결과는 언제나 0이 된다.

극한[편집]

흔히 \textstyle\frac{1}{0}=\infty라고 하는 것은 실제로는  \lim_{x \to+0}\frac{1}{x}=\infty를 간단히 나타낸 것이다. \textstyle\frac{1}{0}은 수식으로서는 의미가 없지만, \lim_{x\to+0}\frac{1}{x}은 0보다 크면서 0으로 수렴하는 수열 또는 함수 \textstyle\frac{1}{x}의 극한을 뜻하는 것이므로 0으로 나누기와는 다르다.

이와 비슷한 식인 \textstyle\frac{1}{\infty}=0도 무한대(\textstyle\infty)가 수가 아니므로 수식으로는 무의미하며, \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0를 간단히 나타낸 것에 불과하다.

\textstyle\frac{0}{0}은 분수 형태의 극한에서 분자와 분모가 각각 모두 0으로 수렴하는 형태, 즉 \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}에서 \lim_{x \to a} f(x)\lim_{x \to a} g(x)가 모두 0인 것을 나타내는 편의적인 기호로 사용된다. 로피탈의 정리에서 이러한 형태의 극한을 구하는 방법이 있고, 마찬가지 의미로 \textstyle\frac{\infty}{\infty}, \textstyle0 \cdot \infty 등도 특수한 극한 형태를 나타낸다.

리만 구[편집]

리만 구의 집합은 \textstyle\mathbb{C}\cup\{\infty\}으로, 이때의 \infty는 무한히 멀리 떨어져 있는 점을 의미한다. 여기에서는 \textstyle\frac{1}{0}=\infty로 정의되며, \textstyle\frac{0}{0}은 정의되지 않는다.