복소켤레

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복소켤레 또는 복소공액(complex conjugate)란 수학에서 복소수와 관련된 연산의 하나로 다음과 같이 정의된다.

목차

[편집] 복소켤레의 정의

복소평면에서의 복소수 z와 그 켤레복소수
복소평면에서의 복소수 z와 그 켤레복소수 \bar{z}

복소수 z = a + bi (여기서 a,b는 실수, i는 허수단위)의 복소켤레는 보통 변수위에 선을 긋거나 별모양 윗첨자를 넣어서 나타내며 (\bar{z} 또는 z * ) 다음과 같이 정의된다.

z * = a − bi

여기서 z * 가 의미하는 수를 켤레복소수 또는 공액복소수(complex conjugate number)라 한다.

※ 단, 복소수가 아니라 복소수로 구성된 행렬 등을 다룰때엔 두 기호의 의미가 다르게 사용되므로 주의하자.

극형태(polar form), 즉 z = re^{i\varphi} (여기서 r,\varphi는 실수, i는 허수단위)로 나타낸 복소수의 경우엔 다음과 같이 간단하게 켤레복소수가 정의된다.

z^* = re^{-i\varphi}.

[편집] 복소켤레 연산의 성질

복소켤레 연산에는 다음과 같은 성질이 있다. 임의의 복소수 z,w에 대해

  • \overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}
  • \overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}
  • \overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}
  • \bar{\bar{z}}=z
  • \bar{z}=z if and only if z is real
  • |z|=|\bar{z}|
  • |z|^2 = z\cdot\bar{z}
  • z^{-1} = \bar{z}\cdot|z|^{-2} (z가 0이 아닐 경우).

이다. 이 성질들은 켤레복소수의 정의를 이용하면 간단히 증명할 수 있다.

[편집] 함수의 복소켤레

복소수를 정의역으로 같는 몇몇 특수함수에 대해 복소켤레를 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

  • \left( e^{z} \right)^* = e^{z^*}
  • \left( \sin {z} \right)^* = \sin z^*
  • \left( \cos {z} \right)^* = \cos z^*
  • \left( \sinh {z} \right)^* = \sinh z^*
  • \left( \cosh {z} \right)^* = \cosh z^*
  • \left( \ln {z} \right)^* = \ln z^*

일반적으로, 정칙함수 \varphi(z)에 복소켤레를 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

\varphi(z) ^* = \varphi(z^*) \;

[편집] 행렬에서 두 표기법의 차이

행렬에서 \bar{z}와 z * 의 차이는 다음과 같다. 행렬 A의 m번째 행, n번째 열의 성분을 Amn라 나타내고 그 복소수를 실수부와 허수부로 나누어 amn + ibmn라 쓰자. 이 때, 각 표기법의 정의는 다음과 같다.

  • (\overline{A})_{mn} = a_{mn} - ib_{mn} = \overline{(A_{mn})}
  • (A^*)_{mn} = (\overline{A})_{nm}

좀 더 자세한 내용은 켤레전치를 참조할 것.

[편집] 같이 보기

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B3%B5%EC%86%8C%EC%BC%A4%EB%A0%88’