D가군

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수학에서, D가군(영어: D-module)은 미분 연산자들에 대한 가군이다. 선형 편미분 방정식의 추상화이며, 또한 평탄한 접속을 갖춘 벡터다발의 일반화이다.

정의[편집]

X표수 0 k에 대한 매끈한 대수다양체라고 하고, X 위의 정칙함수들의 \mathcal O_X라고 하자. 또한, X 위의 (대수적) 벡터장들로 생성되는 \mathcal O_X-층 \mathcal D_X를 생각하자. 이는 미분 연산자들로 간주할 수 있다.

X 위의 D가군 (\mathcal M,\nabla)은 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

이는 다음과 같은 공리를 만족시켜야 한다. 모든 \mathcal O_X의 단면 f, \mathcal M의 단면 m, X 위의 벡터장 u,v에 대하여,

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국소자유층(locally free sheaf)은 벡터 다발로 여길 수 있으며, 국소 자유 D가군은 단순히 평탄한 접속이 주어진 벡터다발이다.

\mathcal D_X 자체는 자명하게 D가군을 이룬다.

복소 아핀 공간 \mathbb C^n 위의 함수 공간 F가 다음 성질들을 만족시킨다면, F는 D가군을 이룬다.

  • F는 덧셈 및 곱셈에 대하여 닫혀 있다.
  • \mathbb C[x_1,\dots,x_n]\subset F. 즉, F는 모든 다항함수를 포함한다.
  • F는 미분에 대하여 닫혀 있다.

선형 편미분 방정식에 대응하는 D가군[편집]

\mathbb C^n=\{(z_1,\dots,z_n)\} 위의 선형 미분 연산자

D=\sum_{\alpha,\beta\in\mathbb N^n}C_{\alpha,\beta}z^\alpha\partial_\beta

로 정의되는 선형 편미분 방정식

Df=0

을 생각해 보자. 그렇다면, 이 편미분 방정식에 대응되는 D가군은 D로 생성되는 \mathcal D_{\mathbb C^n}아이디얼 (D)에 대한 몫환

\mathcal D_{\mathbb C^n}/(D)

이다. 이 경우, D가군을 이루는 어떤 함수 공간 F 속에서,

Df=0\qquad(f\in F)

의 해들의 공간은

\hom_{\mathcal D_{\mathbb C^n}}(\mathcal D_{\mathbb C^n}/(D),F)

과 같다.

바깥 고리[편집]

  • (영어) D-module. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).
  • (영어) D-module. 《nLab》.