완전열

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수학의 분야인 호몰로지 대수아벨 범주 이론, 미분기하학, 군론 등에서, 완전열(完全列, exact sequence)은 (유한하거나 무하한) 대상의 (sequence)과 이를 잇는 사상에 대하여, 한 사상의 이 다음 사상의 과 같은 것이다.

어떤 열이 완전열이라고 한다면, 물론, 각각의 대상에서 모두 완전열이어야 의미가 있다.

대표적인 응용 예는, 완전열을 통해 어떤 호몰로지 대수 등에 대한 관계를 증명할 수 있다. 완전열 중 다른 방법으로 일부가 자명하다는 것을 알게 되면 완전열의 정의에 따라 원소들의 관계가 지어진다.

정의[편집]

어떤 아벨 범주(아벨 군이나 어떤 에 대한 벡터공간)를 생각하자. 이 경우 여핵을 정의할 수 있다. 각 i번째 집합 A_i범주의 대상이라고 하고 f_iA_i에서 A_{i+1}로 가는 사상이라고 하면 이것이 대상의 열과 사상을 정의한다.

f_{i-1}f_i일 때, 열은 A_i에서 완전열이다:

 {\rm im} f_{i-1} = {\rm ker} f_i.

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다음의 아벨 군의 열을 생각해보자:

0\to\mathbb Z\xrightarrow{2\cdot}\mathbb Z\xrightarrow{\mod2}\mathbb Z/2\mathbb Z\to 0

여기에서 0은 원소가 하나뿐인 자명한 아벨 군이고, \mathbb Z에서 \mathbb Z로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, \mathbb Z에서 \mathbb Z/2\mathbb Z\simeq \{0,1\}은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 이는 완전열인데,

  • 사상 0→ \mathbb Z 의 상은 {0}이어야만 되고, 2배를 하는 것에 대한 (두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합)은 {0}이다. 따라서 첫 번째 \mathbb Z에서 열은 완전열이다.
  • 2배를 곱한 상은 2\mathbb Z인데, modulo 2에 대한 2\mathbb Z이기 때문에 두 번째 \mathbb Z에 대해서도 완전열이다.
  • modulo 2에 대한 상은 \mathbb Z/2{\Bbb  Z}이고, 0으로 가는 상의 커널도 \mathbb Z/2\mathbb Z이기 때문에, 열은 \mathbb Z/2\mathbb Z에서도 완전열이다.

특수한 경우[편집]

이해를 위해 다음의 예를 생각해보자.

  • 열 0 → AB 은, A에서 B로 가는 사상의 이 {0}일 때 A에서 완전열이다. 이때 이 사상은 단사(일대일)이다.
일반화하면, 단사를 확장한 개념을 범주론에서는 단사사상이라 한다.
  • 이와 대칭으로, 열 BC → 0 은, B에서 C로 가는 사상이 전사(상이 C전체)일 때 C에서 완전열이다. C전체가 0으로 가기 때문에 C자신이 뒤의 사상에 대해 커널이기 때문이다.
  • 위의 두 성질에 의해 열 0 → XY → 0 은, X에서 Y로 가는 사상이 전단사(일대일 대응)일 때 완전열이다.
이는 XY가 일대일 대응이라는 것을 증명하기 위해 종종 이용된다. 긴 완전열에서 XY에 해당하는 대상의 양쪽에 있는 대상이 0이라는 것을 다른 방법으로 알 수 있는 경우이다.

가끔 원소가 하나인 군을 0대신 1로 표기할 때가 있다.

짧은 완전열[편집]

짧은 완전열(short exact sequence)은 다음과 같은 모양의 완전열이다.

0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0

앞의 예에 의해 이 짧은 완전열에서 f는 단사이고 g는 전사이다. 또한 f의 상은 g의 커널이다. 이 경우 AB의 부분 대상으로 볼 수 있고, '부분'은 A에서 B로 가는 f에 의해 새겨진다. 또 C는 나눔대상인 B/A로 볼 수 있고, 이는 B 에서 B/Ag에 의해 사영하는 것이다 (여기에서 핵은 A이다).

바깥 고리[편집]