완전열

수학의 분야인 호몰로지 대수나 아벨 범주 이론, 미분기하학, 군론 등에서, 완전열(完全列, exact sequence)은 (유한하거나 무하한) 대상의 열(sequence)과 이를 잇는 사상에 대하여, 한 사상의 상이 다음 사상의 핵과 같은 것이다.

어떤 열이 완전열이라고 한다면, 물론, 각각의 대상에서 모두 완전열이어야 의미가 있다.

대표적인 응용 예는, 완전열을 통해 어떤 호몰로지 대수 등에 대한 관계를 증명할 수 있다. 완전열 중 다른 방법으로 일부가 자명하다는 것을 알게 되면 완전열의 정의에 따라 원소들의 관계가 지어진다.

정의

어떤 아벨 범주(아벨 군이나 어떤 체에 대한 벡터공간)를 생각하자. 이 경우 핵과 여핵을 정의할 수 있다. 각 i번째 집합 $A_i$을 범주의 대상이라고 하고 $f_i$를 $A_i$에서 $A_{i+1}$로 가는 사상이라고 하면 이것이 대상의 열과 사상을 정의한다.

$f_{i-1}$의 상이 $f_i$의 핵일 때, 열은 $A_i$에서 완전열이다:

${\rm im} f_{i-1} = {\rm ker} f_i.$

예

다음의 아벨 군의 열을 생각해보자:

$0 \to \Bbb{Z} \xrightarrow{2\cdot} \Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\to 0$

여기에서 0은 원소가 하나뿐인 자명한 아벨 군이고, $\Bbb Z$에서 $\Bbb Z$로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, $\Bbb Z$에서 ${\Bbb Z}={\Bbb Z}/2{\Bbb Z} \simeq \{0,1\}$은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 이는 완전열인데,

• 사상 0→ $\Bbb Z$ 의 상은 {0}이어야만 되고, 2배를 하는 것에 대한 커널(두배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합)은 {0}이다. 따라서 첫 번째 $\Bbb Z$에서 열은 완전열이다.
• 2배를 곱한 상은 $2\Bbb Z$인데, modulo 2에 대한 핵도 $2\Bbb Z$이기 때문에 두 번째 $\Bbb Z$에 대해서도 완전열이다.
• modulo 2에 대한 상은 ${\Bbb Z}/2{\Bbb Z}$이고, 0으로 가는 상의 커널도 ${\Bbb Z}/2{\Bbb Z}$이기 때문에, 열은 ${\Bbb Z}/2{\Bbb Z}$에서도 완전열이다.

특수한 경우

이해를 위해 다음의 예를 생각해보자.

• 열 0 → A → B 은, A에서 B로 가는 사상의 핵이 {0}일 때 A에서 완전열이다. 이때 이 사상은 단사(일대일)이다.

일반화하면, 단사를 확장한 개념을 범주론에서는 단사사상이라 한다.

• 이와 대칭으로, 열 B → C → 0 은, B에서 C로 가는 사상이 전사(상이 C전체)일 때 C에서 완전열이다. C전체가 0으로 가기 때문에 C자신이 뒤의 사상에 대해 커널이기 때문이다.
• 위의 두 성질에 의해 열 0 → X → Y → 0 은, X에서 Y로 가는 사상이 전단사(일대일 대응)일 때 완전열이다.

이는 X가 Y가 일대일 대응이라는 것을 증명하기 위해 종종 이용된다. 긴 완전열에서 X나 Y에 해당하는 대상의 양쪽에 있는 대상이 0이라는 것을 다른 방법으로 알 수 있는 경우이다.

가끔 원소가 하나인 군을 0대신 1로 표기할 때가 있다.

짧은 완전열

짧은 완전열(short exact sequence)은 다음과 같은 모양의 완전열이다.

$0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$

앞의 예에 의해 이 짧은 완전열에서 f는 단사이고 g는 전사이다. 또한 f의 상은 g의 커널이다. 이 경우 A를 B의 부분 대상으로 볼 수 있고, '부분'은 A에서 B로 가는 f에 의해 새겨진다. 또 C는 나눔대상인 B/A로 볼 수 있고, 이는 B 에서 B/A로 g에 의해 사영하는 것이다 (여기에서 핵은 A이다).