완전열

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호몰로지 대수학에서, 완전열(完全列, 영어: exact sequence)은 한 사상의 이 다음 사상의 과 일치하는, 사상들과 대상들로 구성된 열이다.

정의[편집]

여핵을 가지는 범주에서, 완전열은 다음과 같은 꼴의 대상들과 사상들로 구성된다.

\cdots\to A_{i-1}\xrightarrow{f_{i-1}}A_i\xrightarrow{f_i}A_{i+1}\xrightarrow{f_{i+1}}A_{i+2}\to\cdots

이 열이 완전열을 이루려면, 각 사상들의 핵과 들이 일치하여야 한다.

\operatorname{im}f_{i-1} = \ker f_i

즉,

\operatorname{coker}f_{i-1} = A_i/\ker f_i

이어야 한다.

모든 아벨 범주 (아벨 군의 범주 등)에서는 핵과 여핵이 존재하므로, 완전열을 정의할 수 있다. 의 범주 \operatorname{Grp}는 아벨 범주가 아니지만 핵과 여핵이 존재하므로, 이 범주에서도 역시 완전열을 정의할 수 있다.

특수한 경우[편집]

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음 명제들이 성립한다.

  • 0\to A\to B가 완전열이라는 것은 사상 A\to B단사사상이라는 것과 동치이다.
  • B\to C\to 0가 완전열이라는 것은 사상 B\to C전사사상이라는 것과 동치이다.
  • 0\to A\to B\to0가 완전열이라는 것은 사상 A\to B동형사상이라는 것과 동치이다.

짧은 완전열[편집]

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 짧은 완전열(영어: short exact sequence)은 다음과 같은 모양의 완전열이다.

0 \to A \xrightarrow f B \xrightarrow g C \to 0

여기서, f단사사상이며 g전사사상이다. 이 경우, 다음과 같은 동형이 성립한다.

B\cong A/C

[편집]

아벨 군의 범주에서, 다음과 같은 짧은 완전열을 생각하자.

0\to\mathbb Z\xrightarrow{2\cdot}\mathbb Z\xrightarrow{\mod2}\mathbb Z/2\mathbb Z\to 0

여기에서 0은 자명군이고, \mathbb Z에서 \mathbb Z로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, \mathbb Z에서 \mathbb Z/2\mathbb Z\simeq \{0,1\}은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 이는 완전열인데,

  • 사상 0\to \mathbb Z 의 상은 자명군이고, \cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z에 대한 (두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 \mathbb Z에서 열은 완전열이다.
  • \cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z의 상은 짝수의 부분군 2\mathbb Z이며, \bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z 또한 짝수의 부분군 2\mathbb Z이다. 따라서, 두 번째 \mathbb Z에 대해서도 완전열이다.
  • \bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z에 대한 상은 \mathbb Z/2\mathbb Z이고, 0으로 가는 상의 핵도 \mathbb Z/2\mathbb Z이기 때문에, 열은 \mathbb Z/2\mathbb Z에서도 완전열이다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]