완전열

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수학의 분야인 호몰로지 대수나 아벨 범주 이론, 미분기하학, 군론 등에서, 완전열(exact sequence)은 (유한하거나 무하한) 대상의 열(sequence)과 이를 잇는 사상(morphism)에 대하여, 한 사상의 상(image)이 다음 사상의 커널(kernel)과 같은 것이다.

어떤 열이 완전열이라고 한다면, 물론, 각각의 대상에서 모두 완전열이어야 의미가 있다.

[편집] 정의

어떤 아벨 범주(아벨군이나 어떤 체에 대한 벡터공간)나 커널과 코커널을 생각하자. 각 i번째 집합 Ai을 범주의 대상이라고 하고 fi를 Ai에서 Ai + 1로 가는 사상이라고 하면 이것이 대상의 열과 사상을 정의한다.

fi − 1의 상이 fi이 커널일 때, 열은 Ai에서 완전열이다:

imfi − 1 = kerfi.

[편집] 예

다음의 아벨군의 열을 생각해보자:

0 \to \Bbb{Z} \xrightarrow{2\cdot} \Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\to 0

여기에서 0은 원소가 하나뿐인 자명한 아벨군이고, \Bbb Z에서 \Bbb Z로 가는 사상은 2배를 곱하는 것이고, \Bbb Z에서 {\Bbb Z}={\Bbb Z}/2{\Bbb Z} \simeq \{0,1\}은 정수를 modulo 2로 정의한 것이다. 이는 완전열인데,

  • 사상 0→ \Bbb Z 의 상은 {0}, 이고, 2배를 하는 것에 대한 커널(두배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합)은 {0}이다. 따라서 첫번째 \Bbb Z에서 열은 완전열이다.
  • 2배를 곱한 상은 2\Bbb Z인데, modulo 2에 대한 커널도 2\Bbb Z이기 때문에 두번째 \Bbb Z에 대해서도 완전열이다.
  • modulo 2에 대한 상은 {\Bbb Z}/2{\Bbb Z}이고, 0으로 가는 상의 커널도 {\Bbb Z}/2{\Bbb Z}이기 때문에, 열은 {\Bbb Z}/2{\Bbb Z}에서도 완전열이다.

[편집] 특수한 경우

이해를 위해 다음의 예를 생각해보자.

  • 열 0 → A → B 은, A에서 B로 가는 사상의 커널이 {0}일 때 A에서 완전열이다. 이 때 이 사상은 단사(일대일)이다.
  • 이와 대칭으로, 열 B → C → 0 은, B에서 C로 가는 사상이 전사(상이 C전체)일 때 C에서 완전열이다.
  • 위의 두 성질에 의해 열 0 → X → Y → 0 은, X에서 Y로 가는 사상이 전단사(일대일 대응)일 때 완전열이다.

가끔 원소가 하나인 군을 0대신 1로 표기할 때가 있다.

중요한 예로 짧은 완전열(short exact sequences)은 다음 모양을 가진다.

0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0

앞의 예에 의해 이 짧은 완전열에서 f는 단사이고 g는 전사이다. 또한 f의 상은 g의 커널이다. 이 경우 A를 B의 부분 대상으로 볼 수 있고, '부분'은 A에서 B로 가는 f에 의해 새겨진다. 또 C는 나눔대상인 B/A로 볼 수 있고, 이는 B 에서 B/A로 g에 의해 사영하는 것이다 (여기에서 커널은 A이다).

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%99%84%EC%A0%84%EC%97%B4’