연접층

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수학에서, 연접층(連接層, 영어: coherent sheaf)은 밑 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된 좋은 성질을 가진 가군층이다. 카르탕 정리가가 정리 등, 대수기하학과 복소해석기하학의 많은 결과와 성질들은 연접층과 그 층 코호몰로지에 대한 것으로 서술된다. 벡터 다발을 일반화한 개념의 하나다.

개론[편집]

벡터 다발수학의 여러 분야에서 매우 중요한 개념이다. 그러나 주어진 위상 공간 X 위에 주어진 벡터 다발과 다발사상(bundle map)의 범주 \operatorname{Vect}(X)아벨 범주를 이루지 않는다. 구체적으로, 벡터 다발의 여핵은 항상 으로서 존재하지만 벡터 다발을 이루지 않을 수 있다. 예를 들어, EX 위의 n차원 실수 벡터 다발이고, f\colon X\to\mathbb R이 연속함수라고 하자. 그렇다면 f^*\colon E\to E, f^*\colon v\in E_x\mapsto f(x)v\in E_x는 다발사상이다. 만약 f가 어느 곳에서도 0이 아니라면, 핵 \ker f^*는 0차원의 자명한 벡터 다발이고, 공핵 \operatorname{coker}f^*\cong E 또한 n차원 벡터 다발이다. 그러나 fx\in X에서 0이라면, 이 점에서 f^*의 핵 \ker f^*는 0차원이 아니라 n차원이며, 반대로 \operatorname{coker}f^*는 0차원이다. 벡터 다발의 모든 올들은 차원이 같아야 하므로, 이 경우 f^*의 핵과 여핵은 X 벡터 다발을 이루지 않는다.

이 경우, \ker f^*는 부분 공간 f^{-1}(0)\subset X 위에만 존재하는 "벡터 다발"이며, \operatorname{coker}f^*는 부분 공간 f^{-1}(\mathbb R\setminus\{0\})\subset X 위에만 존재하는 "벡터 다발"이다. 이와 같이, "부분 공간 위의 벡터 다발"을 허용하여, 벡터 다발의 범주를 더 확장시켜 얻는 아벨 범주를 생각해 볼 수 있다. 이러한 아벨 범주는 존재하며, 그 원소를 연접층이라고 한다.

정의[편집]

환 달린 공간 (X,\mathcal O_X)가 주어졌다고 하자. \mathcal{O}_X-가군층 \mathcal{F}가 다음 조건을 만족하면, 이를 유한형층(有限形層, 영어: sheaf of modules of finite type)이라고 한다.

  • 모든 x\in X에 대하여, \Gamma(U;\mathcal F)가 유한 생성 \Gamma(U;\mathcal O_X)-가군이 되는 열린 근방 U\ni x가 존재한다.

다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal{F}준연접층(準連接層, 영어: quasicoherent sheaf)이라고 한다.

\mathcal O_X^{\oplus\kappa}|_U\to\mathcal O_X^{\oplus\lambda}|_U\to\mathcal F|_U\to0
여기서 \kappa\lambda는 임의의 기수이다.

\mathcal{O}_X-가군층 \mathcal{F}가 다음 조건을 만족하면, 이를 유한 표시층(有限表示層, 영어: finitely presented sheaf of modules)이라고 한다.

  • 어떤 자연수 m,n\in\mathbb N에 대하여, 아벨 군층의 완전열 \mathcal O_X^m\to\mathcal O_X^n\to\mathcal F\to0이 존재한다.

다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal{F}연접층이라고 한다.

위 정의는 장피에르 세르의 〈대수적 연접층〉[1] 이나 알렉산더 그로텐디크의 《대수기하학 원론》 등에서 사용되는 정의다. <대수기하학 (하츠혼)>[2]:111에서 정의된 연접층의 개념은 조금 다르지만, 뇌터 스킴의 경우에는 위 정의와 동치이다.

다음 조건들을 만족시키는 \mathcal O_X-가군층 \mathcal F국소 자유층이라고 한다.

성질[편집]

임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[3][4]

연접층 ⊆ 유한 표시층 ⊆ 준연접층 ∩ 유한형층
국소 자유층 ⊆ 준연접층[5]

국소 뇌터 스킴 위에서는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.[6]

유한 계수 국소 자유층 ⊆ 연접층 = 유한 표시층 = 준연접층 ∩ 유한형층

임의의 환 달린 공간 X 위의 연접층들의 범주 \operatorname{Coh}(X)아벨 범주이다. 즉, 여핵 등이 존재하며, 호몰로지 대수학을 할 수 있다.

일반적 환 달린 공간 위의 준연접층의 범주 \operatorname{QCoh}(X)는 일반적으로 아벨 범주가 아니지만, X스킴일 경우는 이는 항상 아벨 범주를 이룬다.

R가 (단위원을 가진) 가환 뇌터 환이며, X\cong\operatorname{Spec}R가 이에 대응하는 아핀 스킴이라고 하자. 그렇다면 R의 유한생성 가군들의 범주 \operatorname{fgMod}(R)\operatorname{Coh}(X)는 서로 동치이다. 구체적으로, \mathcal F\in\operatorname{Coh}(X)라면, 이에 대응하여 \mathcal F|_X\mathcal O_X|_X\cong R의 유한 생성 가군이다.

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주해[편집]

  1. 대수기하학 (하츠혼)에는 모든 스킴의 구조층이 연접층이라고 서술돼 있다. 그러나 하츠혼의 연접층의 정의는 여기서 정의된, 흔히 쓰이는 연접층의 정의와 다르다. 두 정의는 뇌터 스킴의 경우 동치이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]