토포스

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수학에서, 토포스(영어: topos, 복수 영어: topoi 토포이[*])는 어떤 공간 위의 들의 범주와 유사한 성질을 갖는 범주이다. 범주론, 논리학대수기하학에서 등장한다.

논리학과 대수기하학에서 쓰이는 토포스의 정의는 약간 다르다. 이를 구별할 때, 논리학에서의 토포스는 기초 토포스(영어: elementary topos), 대수기하학에서의 토포스는 그로텐디크 토포스(영어: Grothendieck topos)라고 한다. 후자가 전자의 특수한 경우이다.

기초 토포스[편집]

논리학에서의 기초 토포스집합들의 범주의 특정한 성질들을 일반화한 개념이다. 이러한 다른 토포스에서도 집합의 범주와 유사한 내부 언어(영어: internal language)를 사용할 수 있다.

정의[편집]

기초 토포스는 다음 조건들을 만족시키는 범주이다.

  • 모든 유한 극한이 존재한다.
  • 멱대상(영어: power object)이 존재한다.

성질[편집]

기초 토포스의 공리들로부터, 다음과 같은 추가 성질들을 유도할 수 있다.

  • 모든 유한 쌍대극한(colimit)이 존재한다.
  • 부분대상 분류자(subobject classifier)가 존재한다.
  • 임의의 두 대상 A,B에 대하여, 지수대상 A^B (함수들의 집합과 유사한 역할을 하는 대상)이 존재한다.
  • 데카르트 닫힌 범주(Cartesian closed category)를 이룬다.

그로텐디크 토포스[편집]

대수기하학에서, 그로텐디크 토포스(영어: Grothendieck topos)는 그로텐디크 위치(영어: Grothendieck site, 그로텐디크 위상을 갖춘 범주) 위의 (집합 값을 갖는) 들의 범주이다. 이는 지로드 정리(영어: Giraud’s theorem)를 사용하여 공리적으로도 정의할 수 있다.

모든 그로텐디크 토포스는 기초 토포스이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Illusie, Luc (2004년 9월). What is a ... topos?. 《Notices of the American Mathematical Society》.
  • (영어) Leinster, Tom (2010년). An informal introduction to topos theory. arXiv:1012.5647. Bibcode2010arXiv1012.5647L.
  • Colin McLarty (1992) Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford Univ. Press.
  • John Lane Bell (2005) The Development of Categorical Logic. Handbook of Philosophical Logic, Volume 12. Springer. Version available online
  • Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk (1992) Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. Springer Verlag.
  • Michael Barr and Charles Wells (1985) Toposes, Triples and Theories. Springer Verlag. Corrected online version at http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html

바깥 고리[편집]