체흐 코호몰로지

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대수적 위상수학에서, 체흐 코호몰로지(영어: Čech cohomology)는 일반적인 원시층에 대하여 정의되는 코호몰로지다.

정의[편집]

X위상공간이고, \mathcal F아벨 군 원시층이라고 하자. \mathcal UX열린 덮개라고 하자.

단체와 사슬[편집]

n단체(simplex) \sigma는 그 교집합이 0이 아닌, n+1개의 \mathcal U의 원소의 순서쌍 (U_0,\dots,U_n)이다. 단체의 받침(support) |\sigma|\bigcap_{k=0}^nU_n이다.

n차 단체를 기저로 하는 자유 아벨 군C^n이라고 하자. C_n의 원소를 n사슬(chain)이라고 한다.

n차 단체 \sigma부분경계 \partial_k\sigma는 다음과 같다.

\partial_k\sigma=(U_0,\dots,U_{k-1},U_{k+1},\dots,U_n).

\sigma경계(boundary) \partial\sigma는 다음과 같다.

\partial\sigma=\sum_{k=0}^n(-1)^k\partial_k\sigma\in C_{n-1}.

마찬가지로 n차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다. n차 사슬의 경계는 n-1차 사슬이다.

공사슬[편집]

n공사슬(cochain) \phin차 사슬 \sigma를 그 받침의 층 \mathcal F(|\sigma|)로 대응시키는 군 준동형사상이다. n차 공사슬의 집합을 C^n(\mathcal U,\mathcal F)라고 하자. 이는 아벨 군을 이룬다.

공사슬의 공경계(coboundary) \delta_n\colon C^n\to C^{n+1}는 다음과 같다. 단체 \sigma에 대하여,

(\delta_n\phi)(\sigma)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\operatorname{res}_{|\sigma|}^{|\partial_k\sigma|}\phi(\partial_k\sigma).

여기서 \operatorname{res}_{|\sigma|}^{|\partial_k\sigma|}는 부분집합에 대한 제한 사상(restriction morphism)이다. 계산을 통해 \delta_{n+1}\circ\delta_n=0임을 확인할 수 있다. 이 공사슬에 대한 코호몰로지를 \check H^\bullet(X;\mathcal U,\mathcal F)라고 하자.

주어진 위상공간의 열린 덮개들은 유항체계(directed system)를 이룬다. 체흐 코호몰로지 \check H^\bullet(X;\mathcal F)는 모든 열린 덮개 \mathcal U에 대한 코호몰로지 \check H^\bullet(X;\mathcal U;\mathcal F)귀납적 극한이다. 즉

\check H^n(X;\mathcal F)=\varinjlim\check H^n(X;\mathcal U;\mathcal F)

이다.

역사[편집]

러시아파벨 알렉산드로프[1]체코에두아르트 체흐[2]가 도입하였다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Aleksandroff, Paul (1929년). Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension. 《Annals of Mathematics》 30 (2): 101–187. doi:10.2307/1968272.
  2. (프랑스어) Čech, Eduard (1932년). Théorie générale de l'homologie dans un espace quelconque. 《Fundamenta Mathematicae》 19 (1): 149–183.