K이론

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수학에서, K이론(K理論, 영어: K-theory)은 위상공간 또는 스킴 위에 존재하는 벡터다발 또는 연접층을 다루는 분야다. 공간에 존재하는 이러한 다발 또는 층의 성질들로부터, 위상공간 또는 스킴의 구조를 알 수 있다. 기하학위상수학, 대수학, 수론과 관련있다. 수학 분야 분류(MSC 2010) 코드는 19.

정의[편집]

K이론은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 기하학적 대상 위에, 그 위에 존재할 수 있는 벡터다발과 같은 구조들을 다룬다. 이러한 구조들은 (그로텐디크 군을 취하면) 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 군들을 K군(K群, 영어: K-group)이라고 하고, K_n(M)과 같이 쓴다. 여기서 M은 다루는 기하학적 대상이고, n은 대략 "다발의 차원"에 해당하는 정수인 지수다. K_n아벨 군범주로의 함자를 이룬다.

K이론에는 위상 K이론, 대수적 K이론, 연산자 K이론(operator K-theory) 등이 있다. 위상 K이론국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 벡터다발들을 다룬다. 대수적 K이론 위에 존재하는 특정한 호모토피 이론적 구조들을 다룬다. (이는 스킴 이론을 통해, 스킴 위에 존재하는 연접층으로 생각할 수 있다.) 연산자 K이론C* 대수 위에 존재하는 특정한 대수적 구조들을 다룬다. 이는 비가환 기하학을 통해, 비가환 공간 위에 존재하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

K이론은 에일렌베르크-스틴로드 공리에 따라, 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. 즉, 차원 공리를 제외하고, 보통 코호몰로지의 성질들을 만족시킨다.

역사[편집]

K이론은 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 리만-로흐 정리히르체브루흐-리만-로흐 정리를 확장한 그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 정리를 발표하면서 도입한 것으로 여길 수 있다. "K"는 독일어: Klasse 클라세[*]의 약자로, 특성류를 뜻한다. 그로텐디크가 창시한 이론은 대수적 K이론에서의 K_0에 해당한다.

마이클 아티야프리드리히 히르체브루흐가 1959년에 위상 K이론을 창시하였다.

1973년에 대니얼 퀼런이 고차 대수적 K군(K_3, K_4, …)을 정의하였다.[1]

1997년에는 끈 이론D-막들이 시공간위상 K이론으로 분류된다는 사실이 밝혀졌다.[2][3][4][5]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Quillen, Daniel (1973). 〈Higher algebraic K-theory: I〉, 《Higher K-theories: Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972》, Lecture Notes in Mathematics 341, ISSN 0075-8434. Berlin, New York: Springer, 85–147쪽. doi:10.1007/BFb0067053. MR0338129. ISBN 978-3-540-06434-3
  2. (영어) Olsen, Kasper, Richard J. Szabo (1999년). Constructing D-branes from K-theory. 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 3: 889–1025. arXiv:hep-th/9907140. Bibcode1999hep.th....7140O.
  3. (영어) Witten, Edward (2001년). Overview of K-theory applied to strings. 《International Journal of Modern Physics A》 16 (5): 693–706. arXiv:hep-th/0007175. doi:10.1142/S0217751X01003822. Bibcode2001IJMPA..16..693W. ISSN 0217-751X.
  4. (영어) Evslin, Jarah (2006년). What does(n’t) K-theory classify?. arXiv:hep-th/0610328. Bibcode2006hep.th...10328E.
  5. (영어) Szabo, Richard J. (2008년). D-branes and bivariant K-theory. arXiv:0809.3029. Bibcode2008arXiv0809.3029S.

바깥 고리[편집]