K이론

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수학에서, K이론(K理論, 영어: K-theory)은 위상 공간 또는 스킴 위에 존재하는 벡터다발 또는 연접층을 다루는 분야다. 공간에 존재하는 이러한 다발 또는 층의 성질들로부터, 위상 공간 또는 스킴의 구조를 알 수 있다. 기하학위상수학, 대수학, 수론과 관련있다. 수학 분야 분류(MSC 2010) 코드는 19.

정의[편집]

K이론은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 기하학적 대상 위에, 그 위에 존재할 수 있는 벡터다발과 같은 구조들을 다룬다. 이러한 구조들은 (그로텐디크 군을 취하면) 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 군들을 K군(K群, 영어: K-group)이라고 하고, K_n(M)과 같이 쓴다. 여기서 M은 다루는 기하학적 대상이고, n은 대략 "다발의 차원"에 해당하는 정수인 지수다. K_n아벨 군범주로의 함자를 이룬다.

K이론에는 위상 K이론, 대수적 K이론, 연산자 K이론(operator K-theory) 등이 있다. 위상 K이론국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 벡터다발들을 다룬다. 대수적 K이론 위에 존재하는 특정한 호모토피 이론적 구조들을 다룬다. (이는 스킴 이론을 통해, 스킴 위에 존재하는 연접층으로 생각할 수 있다.) 연산자 K이론C* 대수 위에 존재하는 특정한 대수적 구조들을 다룬다. 이는 비가환 기하학을 통해, 비가환 공간 위에 존재하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

K이론은 에일렌베르크-스틴로드 공리에 따라, 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. 즉, 차원 공리를 제외하고, 보통 코호몰로지의 성질들을 만족시킨다.

역사[편집]

K이론은 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 리만-로흐 정리히르체브루흐-리만-로흐 정리를 확장한 그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 정리를 발표하면서 도입한 것으로 여길 수 있다. "K"는 독일어: Klasse 클라세[*]의 약자로, 특성류를 뜻한다. 그로텐디크가 창시한 이론은 대수적 K이론에서의 K_0에 해당한다.

마이클 아티야프리드리히 히르체브루흐가 1959년에 위상 K이론을 창시하였다.

1973년에 대니얼 퀼런이 고차 대수적 K군(K_3, K_4, …)을 정의하였다.[1]

1997년에는 끈 이론D-막들이 시공간위상 K이론으로 분류된다는 사실이 밝혀졌다.[2][3][4][5]

참고 문헌[편집]

  1. Quillen, Daniel (1973). 〈Higher algebraic K-theory: I〉. 《Higher K-theories: Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972》 (영어). Lecture Notes in Mathematics 341. Berlin, New York: Springer. 85–147쪽. doi:10.1007/BFb0067053. ISBN 978-3-540-06434-3. ISSN 0075-8434. MR 0338129. 
  2. Olsen, Kasper; Richard J. Szabo (1999). “Constructing D-branes from K-theory” (영어). 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 3: 889–1025. arXiv:hep-th/9907140. Bibcode:1999hep.th....7140O. 
  3. Witten, Edward (2001). “Overview of K-theory applied to strings” (영어). 《International Journal of Modern Physics A》 16 (5): 693–706. arXiv:hep-th/0007175. Bibcode:2001IJMPA..16..693W. doi:10.1142/S0217751X01003822. ISSN 0217-751X. 
  4. Evslin, Jarah (2006). “What does(n’t) K-theory classify?” (영어). arXiv:hep-th/0610328. Bibcode:2006hep.th...10328E. 
  5. Szabo, Richard J. (2008). “D-branes and bivariant K-theory” (영어). arXiv:0809.3029. Bibcode:2008arXiv0809.3029S. 

바깥 고리[편집]