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(合)은 여러 수를 더하는 것, 또는 그 결과를 말한다.

수열의 합[편집]

수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호를 쓰며 기본적인 표기 양식은 다음과 같다.

\sum_{k=m}^n a_k

이때 각각의 항목의 의미는 다음과 같다.

k : 변수를 의미한다. 다른 미지수 (i,j,r, ...)이여도 상관 없다.

a_k : a_1, a_2, a_3, ... a_k로 이루어진 수열이 있다.

즉, Σ 기호 아래의 k=m 과 Σ 기호 위의 n : 수열 a_k에서 k자리에 m부터 n까지 (m과 n을 포함)자연수들을 차례로 대입하여 얻은 값들의 합

함수의 합[편집]

만약 함수f(x)의 을 구하는데에 Σ 를 사용한다면, 표기양식은 다음과 같다.

\sum_{x=1}^n f(x)

이때에도 함수 f(x)에 각각의 자연수를 대입한 각각의 항을 구해 그 총합을 구한다는 의미가 된다.

사용 예[편집]

다음 합을 고려해보자.

\sum_{k=3}^7 2k+3

이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

\sum_3^7 2k+3 = (2 \times 3+3) + (2 \times 4+3) + (2 \times 5+3) + (2 \times 6+3) + (2\times 7+ 3) = 2 \times (3+4+5+6+7) + 3 \times 5 = 65

이로부터, 다음과 같은 시그마(Σ)의 성질을 알 수 있다.

  1. \sum_{k=m}^n (a_k \pm b_k) = \sum_{k=m}^n a_k \pm  \sum_{k=m}^n b_k (복부호 동순)
  2. \sum_{k=m}^n (ca_k) = c \sum_{k=m}^n a_k (단, c는 상수)
  3. \sum_{k=m}^n (c) = c(n-m+1) (단, c는 상수)
  4. 위의 식에서 m=1이면, \sum_{k=1}^n (c) = cn

위 시그마의 성질에서, 시그마 상하의 값이 같음에 유의하라. 그리고, 일반적으로 다음은 성립하지 않음에 주의하라.

  1. \sum_{k=m}^n (a_k  \times  b_k) = \sum_{k=m}^n a_k  \times   \sum_{k=m}^n b_k
  2. \sum_{k=m}^n ( \frac{a_k}{b_k} ) = \frac{\sum_{k=m}^n a_k}{\sum_{k=m}^n b_k}
  3. \sum_{k=m}^n (a_k)^2 = (\sum_{k=m}^n a_k)^2


1 부터 n까지의 자연수의 합을 산출하고자 하는 경우[편집]

\sum_{k=1}^n k

가 되고, 이 값의 계산은

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}

가 된다.

예를 들어, 1부터 10 까지 자연수의 합의 경우, 위 공식에 의해

\frac{10(10+1)}{2} = 1+2+3+ \cdots +9+10 = 55

가 된다.

증명[편집]

\sum_{k=1}^n k = 1+2+3+\cdots+(n-1)+n
\sum_{k=1}^n k = n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1

위에서 아래로 더하면

2 \sum_{k=1}^n k = (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)

그런데 (n+1)이 n개 있으므로

2 \sum_{k=1}^n k = n(n+1)

양변을 2로 나누면

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} Q.E.D.

또한, 수학적 귀납법, 도형을 응용한 증명 등 다양한 증명이 있다.

1 부터 n 까지, 각각의 자연수의 제곱의 합을 산출하고자 하는 경우[편집]

\sum_{k=1}^n k^2

가 되고, 이 값의 계산은

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

가 된다.

예를 들어, 1부터 10 까지 각각의 자연수의 제곱의 합은,

\frac{10(10+1)(2 \times 10+1)}{6} = 1^2+2^2+3^2+ \cdots +9^2+10^2 = 385

가 된다.

증명[편집]

항등식 (x+1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1x=1, 2, 3, \cdots, n을 대입하면

2^3 - 1^3 = 3 \times 1^3 + 3 \times 1 + 1
3^3 - 2^3 = 3 \times 2^3 + 3 \times 2 + 1
4^3 - 3^3 = 3 \times 3^3 + 3 \times 3 + 1
\ddots
(n+1)^3 - n^3 = 3n^3 + 3n + 1

위에서 아래로 항끼리 더하면

(n+1)^3 - 1^3 = 3(1^2+2^2+3^2+ \cdots +n^2) + 3(1+2+3+\cdots+n)+n
(n+1)^3 - 1^3 = 3( \sum_{k=1}^n k^2 ) + 3( \sum_{k=1}^n k )+nd
3( \sum_{k=1}^n k^2 ) = (n+1)^3 - \frac{3n(n+1)}{2} - (n-1)

정리해주면

3( \sum_{k=1}^n k^2 ) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

참고로, (n+1)^3-1 = n^3 + 3n^2 + 3n 이므로 이를 이용할 수도 있다.

자연수의 합 처럼, 수학적 귀납법, 도형을 응용한 증명 등 다양한 증명이 있다.

1 부터 n 까지, 각각의 자연수의 세제곱의 합을 산출하고자 하는 경우[편집]

\sum_{k=1}^n k^3

가 되고, 이 값의 계산은

\sum_{k=1}^n k^3 = \{\frac{n(n+1)}{2}\}^2

가 된다.

예를 들어, 1부터 10 까지 각각의 자연수의 세제곱의 합은,

\{\frac{10(10+1)}{2}\}^2 = 1^3+2^3+3^3+ \cdots +9^3+10^3 = 3025

가 된다.

공식에서, (\sum_{k=1}^n k)^2 = \sum_{k=1}^n k^3 임을 알 수 있다.

다른 유용한 공식들[편집]

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \int_0^1  \frac{1-x^n}{1-x} dx = H_n (조화수열의 부분합 공식)
\sum_{k=m}^n k = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2} (m부터 n까지 자연수의 합 공식)
\sum_{k=1}^n k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30} (1부터 n까지의 자연수 네제곱 합 공식)
\sum_{k=1}^n k^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1} (1부터 n까지의 자연수 p제곱 합 공식 (제곱, 세제곱, 네제곱 공식의 일반화)) (단, B_k베르누이 수 이다. 이 공식에 대한 자세한 증명과 설명은 Faulhaber's formula 문서를 참고하라.)
\sum_{k=1}^n\{ a+(k-1)d\} = \frac{n(2a+(n-1)d)}{2}  = \frac{n(a+l)}{2} (등차수열의 합 공식) (단, l=a+(n-1)d)
\sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} (등비수열의 합 공식)
\sum_{k=m}^{n-1} a^k= \frac{a^m-a^n}{1-a} (등비수열 합 공식의 일반화)
\sum_{k=0}^{n-1} k a^k = \frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2}
\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n (단, {n \choose r}=\frac{n!}{r!(n-r)!} 즉, n개에서 k개를 뽑는 조합이다.)