코시-슈바르츠 부등식

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코시-슈바르츠 부등식오귀스탱 루이 코시가 만들고 카를 헤르만 아만두스 슈바르츠가 덧붙인 절대부등식이다. 이 부등식은 선형대수학에서는 벡터를 다룰 때, 해석학에서는 무한 급수에서, 확률론에서는 분산공분산을 다룰 때와 같이 여러 상황에서 사용된다.

이 부등식은 xy실수복소수 내적 공간의 원소일 때 다음이 성립함을 나타낸다.

|\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle

등호가 성립하는 것은 xy일차 종속인 경우와 동치이다. 또한, xy가 n차원 공간 벡터인 경우에

x = \sum_{k=1}^{n} x_k \mathbf{i_k}, y = \sum_{k=1}^{n} y_k \mathbf{i_k}라고 하면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
\left(\sum_{k=1}^n x_k y_k\right)^2\leq \left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right) \left(\sum_{k=1}^n y_k^2\right).

n=2인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있다.

(ac + bd)^2 \leq (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)

삼각 부등식베셀 부등식은 보통 코시-슈바르츠 부등식으로부터 유도될 수 있다.

증명[편집]

y = 0일 경우 부등식이 성립한다는 것이 자명하므로, \langle y,y\rangle를 0이 아니라고 가정할 수 있다. λ를 복소수라 하면,

0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2 = \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle
= \langle x,x \rangle - \lambda \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle

\lambda = \langle x,y \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}로 하여 정리하면,

0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1}

양변에 \langle y,y \rangle을 곱해서 정리하면 위의 식은 다음과 동치이다.

|\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle

특수 예[편집]

L2[편집]

제곱적분 가능복소함수의 내적 공간에서 다음 부등식이 성립한다.

\left|\int f(x) \overline{g}(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.

횔더 부등식은 이것을 일반화한 것이다.