p-군

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

군론에서, p-군(영어: p-group)은 모든 원소의 위수가 소수 p의 거듭제곱인 이다.

정의[편집]

p소수라 하자. p-군은 모든 원소의 위수가 소수 p의 거듭제곱인 이다. 즉, 군 G의 모든 원소 g\in G에 대하여,

g^{p^{n(g)}}=1

n(g)\in\mathbb N이 존재할 경우, Gp-군이라고 한다.

성질[편집]

유한 p-군의 크기는 항상 p의 거듭제곱이다.

자명군이 아닌 유한 p-군은 항상 자명하지 않는 중심을 갖는다.

분류[편집]

유한 p-군은 크기 p^n에 따라 분류할 수 있다. n\le 6인 경우는 모두 분류되었고, n\ge7인 경우는 가짓수가 매우 많아 나열하기 힘들다.

n=logp |G| 아벨 p-군 비아벨 p-군
0 자명군 1 (없음)
1 순환군 \mathbb Z/p (없음)
2 (\mathbb Z/p)^{\oplus2}, \mathbb Z/p^2 (없음)
3 (p>2) (\mathbb Z/p)^{\oplus3}, \mathbb Z/p^2\oplus\mathbb Z/p, \mathbb Z/p^3 (\mathbb Z/p)^{\oplus2}\rtimes\mathbb Z/p, (\mathbb Z/p^2)\rtimes\mathbb Z/p
3 (p=2) (p>2인 경우와 동일) 정이면체군 \operatorname{Dih}_4, 사원수군 Q_8

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]