슈어 보조정리

슈어 보조정리(Schur's lemma)는 군 표현론에서 기약 표현 사이의 군의 작용과 가환하는 선형사상은 가역 사상이거나 0이라는 보조정리다.

정의

$R$가 환이고, $M$과 $N$이 $R$에 대한 단순 가군이라고 하자. 그렇다면 가군 준동형 $M\to N$은 가역 사상이거나 상수 함수 0(영 사상)이다. 이 사실을 슈어 보조정리라고 한다.

군에 대한 슈어 보조정리

$G$가 군이고, $V$가 벡터 공간이고, $\rho \colon G\to \operatorname {GL} (V)$가 군의 표현이라고 하자. 그렇다면 $V$는 $\rho$로 인하여 군환 $V[G]$에 대한 가군을 이룬다. 이 때, $V$가 단순 가군임과 $\rho$가 기약 표현임은 필요충분조건이다. 따라서, 이 경우 슈어 보조정리에 따르면 두 기약 표현 $G\to \operatorname {GL} (V_{1}),\operatorname {GL} (V_{2})$사이, 군 작용과 가환하는 선형 변환 $V_{1}\to V_{2}$(가군 준동형 사상)은 가역 사상이거나 영 사상이다. 물론, 두 기약 표현의 차원이 같을 경우에만 가역 사상일 수 있다.

응용

슈어 보조정리는 군 표현론에서 다음과 같이 쓰인다. 체 $K$ 위의 단위 결합 대수 $R$가 주어졌다고 하고, $K$-벡터 공간 $V$가 $R$ 위의 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, $V$의 자기 사상환

$\operatorname {End} _{R}V=\hom _{R{\text{-Mod}}}(V,V)$

을 생각할 수 있다. 슈어 보조정리에 따라서 $\operatorname {End} _{R}V$는 $K$ 위의 나눗셈환이다. $M$이 유한 차원 $K$-벡터 공간이며, $K$가 비가산 대수적으로 닫힌 체 (예를 들어, 복소수체 $\mathbb {C}$)라면, 그 위의 나눗셈환은 $K$ 자체밖에 없으며, 따라서 $\operatorname {End} _{R}V=K$이다. 다시 말해, $R$의 모든 원소와 가환인 $V$ 위의 선형 변환은 항등 함수의 스칼라배 밖에 없다.

특히, $R=U({\mathfrak {g}})$가 복소수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 위의 보편 포락 대수라고 하고, ${\mathfrak {g}}$의 복소수 기약 표현 $V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 ${\mathfrak {g}}$의 카시미르 불변량 (보편 포락 대수의 중심) $C\in Z(U({\mathfrak {g}}))$는 $V$ 위에 항등 함수의 스칼라배이다. 따라서, 복소수체 위의 리 대수의 기약 표현은 카시미르 불변량의 값으로 분류된다.

역사

이사이 슈어가 1905년 발표하였다.

외부 링크

• “Schur lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Irreducible module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Schur's representation lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.