슈어 보조정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

표현론에서, 슈어 보조정리(Schur's lemma)는 기약표현 사이의, 군의 작용과 가환하는 선형사상은 가역사상이거나 0이라는 보조정리다.

역사[편집]

이사이 슈어(독일어: Issai Schur)가 1905년 발표하였다.[1]

정의[편집]

R이고, MNR에 대한 단순가군이라고 하자. 그렇다면 가군준동형사상 M\to N은 가역사상이거나 0이다. 이 사실을 슈어 보조정리라고 한다.

군에 대한 슈어 보조정리[편집]

G이고, V벡터공간이고, \rho\colon G\to\operatorname{GL}(V)군의 표현이라고 하자. 그렇다면 V\rho로 인하여 군환 V[G]에 대한 가군을 이룬다. 이 경우, V가 단순가군일 필요충분조건은 \rho기약표현인지 여부다. 따라서, 이 경우 슈어 보조정리에 따르면 두 기약표현 G\to\operatorname{GL}(V_1),\operatorname{GL}(V_2)사이, 군 작용과 가환하는 선형사상 V_1\to V_2(가군으로서의 준동형사상)는 가역사상이거나 0이다. 물론, 가역사상인 경우는 두 기약표현의 차원이 같을 경우에만 가능하다.

참고 문헌[편집]

  1. Schur, Issai (1905년). Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere. 《Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》 1905: 406-432.