번사이드 보조정리

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군론에서, 번사이드 보조정리(영어: Burnside lemma)는 군의 작용에서 궤도의 수를 세는 정리다.

정의[편집]

G가 집합 X에 (왼쪽에서) 작용하는 유한군이고 g \in G 이라고 하자. 그러면 Xg는 g에 의해 고정되는 모든 X의 원소들의 집합으로 정의된다.

X^g = \{x \in X \mid g\cdot x = x\}.

X/G이 G에 관한 X의 궤도들의 집합이라고 하면, 다음의 식이 성립함을 번사이드 보조정리라고 부른다.

|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|.

증명[편집]

X가 궤도 Gx들로 분할되고 x를 포함하는 궤도의 크기는 |Gx|이기 때문에 궤도-안정화 부분군 정리에 의해,

\sum_{g \in G}|X^g| = |\{(g,x)\in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x|
= \sum_{x \in X} \frac{|G|}{|Gx|} = |G| \sum_{x \in X}\frac{1}{|Gx|} = |G|\sum_{A\in X/G}\sum_{x\in A} \frac{1}{|A|}
= |G| \sum_{A\in X/G} 1 = |G| \cdot |X/G|.

역사[편집]

이 보조정리는 이미 오귀스탱 루이 코시에게 1845년 알려져 있었다. 페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1887년 쓴 논문에도 수록되어 있다.[1] 윌리엄 번사이드가 1897년 쓴 책에 프로베니우스를 인용하였고, 이 보조정리의 증명을 수록하였다.[2] 번사이드는 군론에서 수많은 보조정리들을 증명하였는데, "번사이드 보조정리"는 번사이드가 증명하지 않은 몇 안되는 보조정리 가운데 하나이다. 혹자는 이 보조정리를 "번사이드가 증명하지 않은 보조정리"라고 부르기도 한다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Frobenius, Ferdinand Georg (1887년). Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 1887 (101): 273–299. doi:10.1515/crll.1887.101.273. ISSN 0075-4102.
  2. (영어) Burnside, William (1897년). 《Theory of groups of finite order》. Cambridge University Press
  3. Neumann, Peter M. (1979년). A lemma that is not Burnside’s. 《The Mathematical Scientist》 4 (2): 133–141. MR562002. ISSN 0312-3685.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Burnside lemma. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).