번사이드 보조정리

G가 집합 X에 (왼쪽에서) 작용하는 유한군이고 g $\in$ G 이라고 하자. 그러면 X^g는 g에 의해 고정되는 모든 X의 원소들의 집합으로 정의된다.

$X^g = \{x \in X \mid g\cdot x = x\}.$

X/G이 G에 관한 X의 궤도들의 집합이라고 하면, 다음의 식이 성립함을 번사이드 보조정리라고 부른다.

$|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|.$

증명

X가 궤도 Gx들로 분할되고 x를 포함하는 궤도의 크기는 |Gx|이기 때문에 궤도-안정화 부분군 정리에 의해,

$\sum_{g \in G}|X^g| = |\{(g,x)\in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x|$

$= \sum_{x \in X} \frac{|G|}{|Gx|} = |G| \sum_{x \in X}\frac{1}{|Gx|} = |G|\sum_{A\in X/G}\sum_{x\in A} \frac{1}{|A|}$

$= |G| \sum_{A\in X/G} 1 = |G| \cdot |X/G|.$