작은 군의 목록

이 글은 수학의 한 분야인 군론에 나타나는 유한군들 중에서 위수가 작은 것들을 동형류에 따라 분류한 것이다. 특정한 유한군 G가 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 G의 위수를 알아낸 뒤 아래에서 해당 위수에 속하는 군들과 군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다.

용어 및 표기법

• Z_n: 위수 n의 순환군. 책에 따라서는 C_n나 Z/nZ로 표기하기도 한다.
• Dih_n: 위수 2n의 정이면체군. D_n이나 D_2n으로 표기하기도 한다.
• S_n: n차 대칭군. n개의 대상들의 치환들로 이루어진 n!개의 원소들을 포함하고 있다.
• A_n: n차 교대군. n개의 대상들의 짝치환들로 이루어진 n!/2개의 원소들을 포함하고 있다.
• Dic_n: 위수 4n의 이중순환군.

G × H는 군 G와 H의 직적을 나타낸다. Gⁿ은 G를 자기 자신과 n번 직적한 것이다. (예를 들어, G² = G × G.) H가 G에 작용할 때 G $\rtimes$ H는 반직적을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직적을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다.

두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 개수를 괄호 안에 표시한다.

가환군

아벨 군 문서를 참고하십시오.

유한 아벨 군은 전부 순환군 아니면 그 직적이므로 간단히 분류할 수 있다.

위수	군	부분군	성질	마디 그래프
1	자명군 = Z1 = S1 = A2	-	여러 가지 성질들이 자명하게 성립한다
2	Z2 = S2 = Dih1	-	단순군
3	Z3 = A3	-	단순군
4	Z4	Z2
	클라인 4원군 = Z2 2 = Dih2	Z2 (3)	가장 작은 비순환군
5	Z5	-	단순군
6	Z6 = Z3 × Z2	Z3 , Z2
7	Z7	-	단순군
8	Z8	Z4 , Z2
	Z4 ×Z2	Z22, Z4 (2), Z2 (3)
	Z23	Z22 (7) , Z2 (7)	항등원을 제외한 나머지 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z2 × Z2 부분군은 직선에 대응된다
9	Z9	Z3
	Z32	Z3 (4)
10	Z10 = Z5 × Z2	Z5 , Z2
11	Z11	-	단순군
12	Z12 = Z4 × Z3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2
	Z6 × Z2 = Z3 × Z22	Z6 (2), Z3, Z2 (3)
13	Z13	-	단순군
14	Z14 = Z7 × Z2	Z7 , Z2
15	Z15 = Z5 × Z3	Z5 , Z3
16	Z16	Z8 , Z4 , Z2
	Z24	Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)
	Z4 × Z22	Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6)
	Z8 × Z2	Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2
	Z42	Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)

비가환군

위수	군	부분군	성질	마디 그래프
6	S3 = Dih3	Z3 , Z2 (3)	가장 원소수가 적은 비가환군
8	Dih4	Z4, Z22 (2) , Z2 (5)
	사원수군, Q8 = Dic2	Z4 (3), Z2	가장 원소수가 적은 해밀토니안군
10	D5	Z5 , Z2 (5)
12	D6 = Dih3 × Z2	Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)
	A4	Z22 , Z3 (4) , Z2 (3)	군의 원소 갯수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없는 가장 작은 군. 6개의 원소를 가진 부분군이 존재하지 않는다.(라그랑지 정리, 실로우 정리 참조.)
	Dic3 = Z3 ⋊ Z4	Z2, Z3, Z4 (3), Z6
14	Dih7	Z7, Z2 (7)
16	Dih8	Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)
	Dih4 × Z2	Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (7), Z4 (2), Z2 (11)
	Q16 = Dic4
	Q8 × Z2		해밀토니안 군
	quasidihedral group
	위수 16의 모듈군(modular group)
	Z4 ⋊ Z4
	파울리 행렬을 사용하여 만들 수 있는 군.
	G4,4 = Z22 ⋊ Z4