곱위상

일반위상수학에서 곱위상(-位相, 영어: product topology)은 위상 공간들의 곱집합에 표준적으로 부여되는 위상이다.

정의

위상 공간들의 집합

$\{X_{i}\}_{i\in I}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱집합 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 위에 다음과 같은 위상들을 부여할 수 있다.

• 곱위상. 이는 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$에서의 범주론적 곱이다.
• 상자 위상. 이는 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. $I$가 유한 집합이라면 이는 곱위상과 일치한다.
• 만약 $X_{i}$에 거리 함수가 주어졌다면, 균등 위상을 정의할 수 있다.
• $\operatorname {Top}$의 충만한 부분 범주에서의 범주론적 곱. 이는 곱위상보다 더 섬세하며, $I$가 유한 집합일 경우에도 곱위상과 다를 수 있다.

곱위상

곱위상(-位相, 영어: product topology) 또는 티호노프 위상(Тихонов位相, 영어: Tychonoff topology)은 사영 함수

$\operatorname {proj} _{i}\colon \prod _{i\in I}X_{i}\to X_{i}$

의 집합에 대한 시작 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다.

곱위상의 한 기저는 다음과 같다.

${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\colon U_{i}\in {\mathcal {T}}(X_{i}),\;\aleph _{0}>|\{i\in I\colon U_{i}\neq X_{i}\}|\right\}$

여기서 ${\mathcal {T}}(X_{i})$는 $X_{i}$의 열린집합들의 집합이다. 즉, ${\mathcal {B}}$의 원소는 각 $X_{i}$의 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이 $X_{i}$ 전체와 다른 것이다.

상자 위상

위 기저에서 $\aleph _{0}$ (가산 무한 기수) 대신 임의의 무한 기수 $\kappa$를 사용하여 위상의 기저

${\mathcal {B}}_{\kappa }=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\colon U_{i}\in {\mathcal {T}}(X_{i}),\;\kappa >|\{i\in I\colon U_{i}\neq X_{i}\}|\right\}$

를 정의할 수 있으며, ($X_{i}$들이 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 $\kappa \leq |I|$에 대하여 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 만약 이 기수가 충분히 클 때 (즉, $\kappa >|I|$일 때), 추가 조건은 자명해진다.

${\mathcal {B}}_{\kappa }={\mathcal {B}}_{\text{box}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\colon U_{i}\in {\mathcal {T}}(X_{i})\right\}\qquad (\kappa >|I|)$

이 기저로 생성되는 위상을 상자 위상(箱子位相, 영어: box topology)이라고 한다.^:114

따라서, ($X_{i}$들이 모두 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 $\aleph _{0}\leq \kappa \leq |I|^{+}$에 대하여, $\kappa$가 클 수록 더 섬세한 위상들을 얻는다.

${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}_{\aleph _{0}}\subsetneq {\mathcal {B}}_{\aleph _{1}}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathcal {B}}_{|I|}\subsetneq {\mathcal {B}}_{|I|^{+}}={\mathcal {B}}_{\text{box}}$

상자 위상을 포함한 ${\mathcal {B}}_{\kappa }$-위상은 만약 $I$가 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다.

균등 위상

거리 공간들의 집합 $\{(X_{i},d_{i})\}_{i\in I}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 $\textstyle \prod _{i}X_{i}$ 위에 다음과 같이 균등 거리 함수(영어: uniform metric) $d_{\text{unif}}$를 줄 수 있다.

$d_{\text{unif}}(x,y)=\min\{1,\sup _{i\in I}d_{i}(x,y)\}$

그렇다면 $(\textstyle \prod _{i}X_{i},d_{\text{unif}})$는 거리 공간을 이루며, 이에 의하여 유도되는 위상을 균등 위상(영어: uniform topology)이라고 한다.

균등 위상은 일반적으로 곱위상보다 더 섬세하다.^{:Theorem 20.4}

콤팩트 생성 곱위상

위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$의 완비 쌍대 반사 부분 범주 $I\colon {\mathcal {C}}\hookrightarrow \operatorname {Top}$가 주어졌고, ${\mathcal {C}}$가 한원소 공간을 포함한다고 하자.

쌍대 반사 부분 범주라는 것은 포함 함자 $I$가 충실충만한 함자이며 오른쪽 수반 함자 $R\colon \operatorname {Top} \to {\mathcal {C}}$를 갖는다는 것이다. 수반 함자의 일반적 성질에 의하여 $I$는 모든 쌍대극한을 보존하며, 반대로 $R$는 모든 극한을 보존하게 된다. 또한, 한원소 공간 $\{\bullet \}$은 구체적 범주의 망각 함자 $\operatorname {Top} \to \operatorname {Set}$를 표현하므로, 망각 함자 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Top} \to \operatorname {Set}$ 역시 극한을 보존하게 된다.

위상 공간의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$가 주어졌다고 하고, 이들이 모두 ${\mathcal {C}}$의 원소들로 구성되었다고 하자. 그렇다면, 이들의 곱을 ${\mathcal {C}}$ 속에서 취할 수 있다. 이를

$\prod _{i\in I}^{\mathcal {C}}X_{i}=R\left(\prod _{i\in I}X_{i}\right)$

로 표기하자. 망각 함자 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$가 극한을 보존하므로, 이는 집합으로서 단순히 곱집합이다. 그러나 $I$가 극한을 보존하지 않는다면, 이는 곱위상(즉, $\operatorname {Top}$에서의 곱)과 다를 수 있다.

보다 일반적으로, (${\mathcal {C}}$에 속하지 않을 수 있는) 임의의 위상 공간들의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$의 ${\mathcal {C}}$-곱공간을

$R\left(\prod _{i\in I}X_{i}\right)=\prod _{i\in I}^{\mathcal {C}}R(X_{i})$

로 정의할 수 있다.

이 가운데 대표적인 것은 콤팩트 생성 공간의 범주 $\operatorname {CGTop}$이다. 모든 위상 공간의 범주와 달리 이는 데카르트 닫힌 범주를 이루어, 대수적 위상수학을 간편하게 전개할 수 있다. 이는 $\operatorname {Top}$의 쌍대 반사 부분 범주를 이루며, 그 쌍대 반사 함자를 콤팩트 생성화 $k\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {CGTop}$라고 한다. 이 함자는 유한 극한도 보존하지 않으며, 특히 콤팩트 생성 곱위상 $k(X\times Y)$는 일반적으로 곱위상 $X\times Y$보다 더 섬세하다.

대수적 위상수학에서는 곱위상 $X\times Y$보다 콤팩트 생성 곱공간 $k(X\times Y)$이 더 많이 쓰인다. 예를 들어, CW 복합체의 곱은 ($\operatorname {Top}$) 곱공간이 아니라 콤팩트 생성 곱공간이다.

성질

곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다. (즉, 콤팩트 공간들의 집합의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간의 집합들의 상자 곱공간은 콤팩트 공간이 아닐 수 있다.)

성질	곱위상	상자 위상
콤팩트 공간	예 (티호노프 정리)	아니오 (반례: $\mathbb {R} ^{\aleph _{0}}$)
연결 공간	예	아니오 (반례: $\mathbb {R} ^{\aleph _{0}}$)
경로 연결 공간	예	아니오 (반례: $\mathbb {R} ^{\aleph _{0}}$)
콜모고로프 공간	예	예 (콜모고로프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
T1 공간	예	예 (T1 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
하우스도르프 공간	예	예:171, Proposition 1.2(iii) (하우스도르프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
정칙 공간	예	예:171, Proposition 1.2(iii)
완비 정칙 공간	예	예:171, Proposition 1.2(iii)
정규 공간	아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)	아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)
이산 공간	아니오	예
비이산 공간	예	예

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여 성립하지 않는다.

예

가산 무한 개의 실수선 $\mathbb {R}$들의 곱집합 $\mathbb {R} ^{\aleph _{0}}$에서 상자 위상을 부여하자.^{:Counterexample 109} 이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 콤팩트 공간이 아니다.
• 연결 공간이 아니다.
• 제1 가산 공간이 아니다.
• 분해 가능 공간이 아니다.
• 이는 완비 정칙 공간이다.
• 만약 연속체 가설이 참이라면 파라콤팩트 공간이다.

역사

상자 위상은 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)가 1923년에 도입하였다.^{:300, Historical Notes §8}

곱위상은 안드레이 니콜라예비치 티호노프가 1930년에 도입하였다.^{:300, Historical Notes §8}

콤팩트 생성 곱은 에드윈 헨리 스패니어(영어: Edwin Henry Spanier)가 1959년에 "약한 위상"(영어: weak topology)이라는 이름으로 도입하였다. 스패니어는 $\langle X\times Y\rangle$라는 기호를 사용하였다.

참고 문헌

• Brown, Ronald (1963). “Ten topologies for X×Y”. 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 14 (1): 303–319. doi:10.1093/qmath/14.1.303. 
• Knight, C. J. (1964). “Box topologies”. 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 15 (1): 41–54. doi:10.1093/qmath/15.1.41. 
• van Douwen, Eric K. (1980). 〈Covering and separation properties of box products〉. Reed, George M. 《Surveys in General Topology》 (영어). Academic Press. 55–129쪽. doi:10.1016/B978-0-12-584960-9.50010-9. ISBN 978-0-12-584960-9. 
• Przymusiński, Teodor C. (1980). 〈Product spaces〉. Reed, George M. 《Surveys in General Topology》 (영어). Academic Press. 399–429쪽. doi:10.1016/B978-0-12-584960-9.50010-9. ISBN 978-0-12-584960-9. 

외부 링크

• “Topological product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Tychonoff product”. 《nLab》 (영어). 
• “Box topology”. 《Topospaces》 (영어). 
  • “Box product-closed property of topological spaces”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Product topology”. 《Topospaces》 (영어). 
  • “Product-closed property of topological spaces”. 《Topospaces》 (영어). 
  • “Regularity is product-closed”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Definition: box topology”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Basis for box topology”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: Tychonoff topology”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Box topology on finite product space is Tychonoff topology”. 《ProofWiki》 (영어). 2016년 2월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 2월 6일에 확인함.