급수

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급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다.

급수는 유한 급수와 무한 급수로 나눌 수 있다. 유한 급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한 급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\sum_{n=0}^k (an+b);

등비수열의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\sum_{n=0}^k a^{n}.

무한급수[편집]

S_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n,

무한급수는 위의 Sn, 즉 급수의 부분합으로 이루어지는 수열의 극한값으로 생각한다. n이 무한대로 갈 때 그 극한이 유한한 값을 갖는다면 이 급수가 수렴한다고 한다. 만약 이 값이 무한하거나 존재하지 않는다면, 이 급수는 발산한다고 한다.

무한급수가 발산하는지 여부를 판단하는 가장 쉬운 방법은 급수를 구성하고 있는 수열의 n번째 항인 ann이 무한으로 갈 때 0으로 수렴하는지 여부를 체크하면 된다. 만약 0으로 가지 않는다면, 이 급수는 발산한다는 사실을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 그 극한값이 0으로 간다고 해도, 이 급수가 항상 수렴하는 것은 아니다. 다음의 급수의 경우 수열의 값은 0으로 수렴하지만, 급수는 수렴하지 않는다.

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots.

급수를 구성하고 있는 각 수열들이 0이 아닌 항으로만 이루어져 있더라도 수렴할 수도 있다. 제논의 역설로도 확인할 수 있는 수렴하는 무한급수의 예는 다음과 같다.

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots.
Zeno Paradox.PNG

수직선에서 이를 눈으로 확인해볼 수 있다. 수직선에서  \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \cdots에 해당하는 부분에 점을 찍어보면, 언제나 마지막에 찍은 점과 그 앞에 찍은 점 사이의 거리가, 1과 마지막에 찍은 점과의 거리와 같다는 사실을 알 수 있다. 하지만 이런 논리로는 이 급수의 부분합이 항상 1보다 작다는 사실을 설명할 뿐, 무한급수의 합이 1이 된다는 사실을 증명해주지는 못한다.

위의 급수를 등비급수로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

\sum_{n=0}^\infty 2^{-(n+1)}

일반적인 무한급수를 표시할 때에는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\sum_{n=0}^\infty a_n

여기에서 an실수(혹은 복소수)이며, 만약 부분합의 극한인

\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^N a_n

이 어떤 값 S로 수렴한다면, 이 무한급수의 합은 S와 같다고 한다. 이런 수 S가 존재하지 않을 경우 이 급수는 발산한다고 한다.