완전수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수론에서 완전수(完全數)는 자기 자신을 제외한 양의 약수를 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다.

최초 네 개의 완전수는 6, 28, 496, 8128이다.

   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

짝수 완전수[편집]

고대 그리스인들은 이들 네 개의 완전수밖에는 알지 못했다. 유클리드는 이들을 2^{n-1} \cdot (2^n - 1) 에 알맞은 수를 대입해 구할 수 있다는 것을 발견했다.

n = 2 일 때:   21 · (22 − 1) = 6
n = 3 일 때:   22 · (23 − 1) = 28
n = 5 일 때:   24 · (25 − 1) = 496
n = 7 일 때:   26 · (27 − 1) = 8128

유클리드는 여기서 2^n - 1소수인 경우(메르센 소수)를 생각하여 2^n - 1가 소수일 때 2^{n-1} \cdot (2^n - 1)는 완전수라는 것을 증명했다.

이때 n은 언제나 소수이지만 n이 소수라고 2n − 1도 꼭 소수가 되지는 않는다. 2n − 1이 소수일 때는 이를 메르센 소수라고 부른다. 마랭 메르센17세기정수론과 완전수를 연구한 수도승이었다.

유클리드 이후 2천 년이 지나, 레온하르트 오일러는 모든 짝수 완전수는 2^{n-1} \cdot (2^n - 1)의 형태라는 것을 증명했다.

2^{n-1} \cdot (2^n - 1) = \frac {M_n (M_n + 1)} 2 즉, 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있다는 것이 밝혀졌다.

모든 짝수 완전수가 2^{n-1} \cdot (2^n - 1) 꼴이므로, 모든 짝수 완전수는 연속된 자연수의 합으로 표현할 수 있다.

   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 
 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30 + 31 

메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 그러므로 짝수 완전수의 수가 무한한지도 알려져 있지 않다.

홀수 완전수[편집]

Question mark2.svg
수학의 미해결 문제: 홀수 완전수는 존재하는가?

홀수 완전수가 존재하는지는 아직 알려져 있지 않다.

만약 홀수 완전수 N이 존재한다면, 그 수는 다음 조건을 만족한다.

  • 2012년에 출판된 논문에 따르면 N > 101500이다.[1]
  • N은 105로 나누어 떨어지지 않는다.
  • N은 N≡1(mod 12)의 형태를 띤다.
  • N
N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \cdots p_k^{2e_k},
의 형태를 띠며,
  • qp1, ..., pk 는 구별된 소수이다.(Euler).
  • q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Euler).
  • N의 가장 작은 소인수는(2k + 8) / 3보다 작다.[2]
  • qα > 1062, 또는 어떤 j에 대해 p j2ej  > 1062 이다.[1]
  • N < 24k+1.[3]
  • N의 가장 큰 소인수는 108보다 크다.[4]
  • 두 번째로 큰 소인수는 104보다, 세 번째로 큰 소인수는100보다 크다.[5][6]
  • N은 101개 이상의 소인수로 분해되며, 적어도 9개의 서로 다른 소인수를 갖는다. 3이 소인수가 아니라면 12개의 서로 다른 소인수를 갖는다.[1][7]

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Ochem, P, Rao, M (2012년). Odd perfect numbers are greater than 101500. 《Mathematics of Computation》. 2 February 2012에 확인.
  2. Grün, O (1952년). Über ungerade vollkommene Zahlen. 《Mathematische Zeitschrift》 55 (3): 353–354. doi:10.1007/BF01181133. 30 March 2011에 확인.
  3. Nielsen, PP (2003년). [An upper bound for odd perfect numbers An upper bound for odd perfect numbers]. 《Integers》 3: A14–A22. 30 March 2011에 확인.
  4. Goto, T, Ohno, Y (2008년). Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108. 《Mathematics of Computation》 77 (263): 1859–1868. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. 30 March 2011에 확인.
  5. Iannucci, DE (1999년). The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand. 《Mathematics of Computation》 68 (228): 1749–1760. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. 30 March 2011에 확인.
  6. Iannucci, DE (2000년). The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred. 《Mathematics of Computation》 69 (230): 867–879. 30 March 2011에 확인.
  7. Nielsen, PP (2007년). Odd perfect numbers have at least distinct prime factors. 《Mathematics of Computation》 76 (260): 2109–2126. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. 30 March 2011에 확인.