완전수

수론에서 완전수(完全數)는 자기 자신을 제외한 양의 약수를 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다.

최초 네 개의 완전수는 6, 28, 496, 8128이다.

   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

짝수 완전수

고대 그리스인들은 이들 네 개의 완전수밖에는 알지 못했다. 유클리드는 이들을 $2^{n-1} \cdot (2^n - 1)$ 에 알맞은 수를 대입해 구할 수 있다는 것을 발견했다.

n = 2 일 때:   2¹ · (2² − 1) = 6

n = 3 일 때:   2² · (2³ − 1) = 28

n = 5 일 때:   2⁴ · (2⁵ − 1) = 496

n = 7 일 때:   2⁶ · (2⁷ − 1) = 8128

유클리드는 여기서 $2^n - 1$이 소수인 경우(메르센 소수)를 생각하여 $2^n - 1$가 소수일 때 $2^{n-1} \cdot (2^n - 1)$는 완전수라는 것을 증명했다.

이때 $n$은 언제나 소수이지만 $n$이 소수라고 2ⁿ − 1도 꼭 소수가 되지는 않는다. 2ⁿ − 1이 소수일 때는 이를 메르센 소수라고 부른다. 마랭 메르센은 17세기에 정수론과 완전수를 연구한 수도승이었다.

유클리드 이후 2천년이 지나, 레온하르트 오일러는 모든 짝수 완전수는 $2^{n-1} \cdot (2^n - 1)$의 형태라는 것을 증명했다.

$2^{n-1} \cdot (2^n - 1) = \frac {M_n (M_n + 1)} 2$ 즉, 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있다는 것이 밝혀졌다.

모든 짝수 완전수가 $2^{n-1} \cdot (2^n - 1)$ 꼴이므로, 모든 짝수 완전수는 연속된 자연수의 합으로 표현할 수 있다.

   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 
 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30 + 31 
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 126 + 127

메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 그러므로 짝수 완전수의 수가 무한한지도 알려져 있지 않다.

홀수 완전수

수학의 미해결 문제: 홀수 완전수는 존재하는가?

홀수 완전수가 존재하는지는 아직 알려져 있지 않다.

만약 홀수 완전수 N이 존재한다면, 그 수는 다음 조건을 만족한다.

• 2012년에 출판된 논문에 따르면 N > 10¹⁵⁰⁰이다.
• N은

$N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \cdots p_k^{2e_k},$

의 형태를 띠며,

• q, p₁, ..., p_k 는 구별된 소수이다.(Euler).
• q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Euler).
• N의 가장 작은 소인수는(2k + 8) / 3보다 작다.
• Either q^α > 10⁶², or p _j^2e_j  > 10⁶² for some j.
• N < 2^4k+1.

• N의 가장 큰 소인수는 10⁸보다 크다.
• 두번째로 큰 소인수는 10⁴보다, 세번째로 큰 소인수는100보다 크다.
• N은 101개 이상의 소인수로 분해되며, 적어도 9개의 서로 다른 소인수를 갖는다. 3이 소인수가 아니라면 12개의 서로 다른 소인수를 갖는다.

같이 보기

• 초완전수