과잉수

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수론에서 과잉수 (過剩數)는 자연수에서 그 양의 약수를 모두 더했을 때 원래의 수의 두 배보다 더 커지는 수이다. 20의 약수는 1 +2 +4 +5 +10 +20 = 42 > 20 × 2이기 때문에 20은 과잉수이다. 또는 20의 진약수의 합이 1 +2 +4 +5 +10 = 22> 20 로 원래의 수 20보다 크기 때문에 20은 과잉수 라고 표현할 수도 있다. 과잉수는 무수히 많이 있으며 가장 작은 과잉수는 12이다.

과잉수를 작은 순서대로 나열하면

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, ...

등이 있다.

특징[편집]

  • 홀수 과잉수 중 가장 작은 수는 945이다. 과잉수의 배수도 과잉수이므로 짝수든 홀수든 과잉수는 무수히 많이 있다.
  • 자연수 중 과잉수의 점근 밀도(Asymptotic Density)는 0.2474에서 0.2480 사이로 알려져 있다.
  • 20161보다 큰 모든 정수는 2 개의 과잉수의 합으로 표현할 수 있다. (2개의 과잉수의 합으로 표현하지 못하는 자연수는 모두 1456개이다.)
  • 어떤 수의 진약수의 합이 그 어떤 수보다 1만큼 커지는 과잉수를 준완전수라고 하는데 아무도 찾지 못했다. 그리고 이 사실은 증명되지도 않았다.(사이먼 싱 저 페르마의 마지막 정리 한국어 번역본 33쪽)

같이보기[편집]