친화수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

친화수(親和數)는 두 수의 쌍이 있어, 어느 한 수의 진약수를 모두 더하면 다른 수가 되는 것을 말한다. 220284의 쌍이 그 예이다. 220의 진약수는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110로 모두 더하면 284가 된다. 반대로 284의 모든 진약수 1, 2, 4, 71, 142를 모두 더하면 220이 된다.

친화수의 쌍이 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 현재까지 알려진 친화수는 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수인 경우뿐이다. 짝수와 홀수로 이뤄진 친화수가 존재하는지 여부에 대해서는 알려져있지 않다. 또한 알려진 친화수는 서로 공통의 약수를 가진다. 서로소인 친화수가 존재하는지는 알려져있지 않으나, 최소한 그 곱이 1067보다는 커야 한다.

친화수는 피타고라스 학파 시대에 이미 알려져 있었다. 850년경에 이탈리아의 수학자 사빗 이븐 쿠라(826-901)에 의해 친화수를 구할 수 있는 관계식이 도출되었다.:

p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1,

여기서, n은、1이상의 정수이고, p,q,r이 소수인 p,q,r,n이 존재할 때、 2npq와 2nr은 친화수의 관계에 있다. 이 식은 모든 친화수의 짝에 대하여 성립하지는 않는다. 예를 들어, 친화수 (220, 284), (17296, 18416), (9363584, 9437056)은 이 관계식을 만족하지만, (6232, 6368)은 친화수임에도 이 관계식을 만족하지 않는다.

(220, 284) 다음에 구해진 친화수는 (17296, 18416)이다. 이 친화수는 그 이전에도 구해져 있었지만, 페르마에 의해 재발견되었다. 그 후, 오일러에 의해 60개 정도의 친화수가 구해졌으며, 현재까지 알려진 친화수는 천만 개 이상이다

덧붙여, 자기 자신의 진약수의 합이 자기 자신이 되는 수를 완전수라고 한다. 또한 서로 다른 3개 이상의 수에 대하여 약수의 합이 처음 수로 다시 되돌아오는 수들을 사교수라고 한다.


관련항목[편집]

바깥 고리[편집]