약수 함수

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정수론에서, 약수 함수(約數函數, 영어: divisor function)는 주어진 수의 약수들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 수론적 함수다.

정의[편집]

자연수 n복소수 a에 대하여, 약수 함수 \sigma_a(n)는 다음과 같다.

\sigma_a(n)=\sum_{d\mid n}d^a

여기서 \textstyle\sum_{d\mid n}n의 양의 약수들에 대한 합이다. 이 경우 1과 n 자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

σ0(n)은 d(n)로도 나타내며, n의 약수의 개수에 해당한다.

\sigma_0(n)=\#\{d\in\mathbb Z^+\colon d\mid m\}

σ1(n)은 시그마 함수 σ(n)라고 하며 n의 모든 약수의 합을 나타낸다.

\sigma(n)=\sigma_{1}(n)=\sum_{d\mid n}d.

s(n) = σ(n)-n 으로 표시하며, 이 값은 n에서 자기 자신을 제외한 약수의 합에 해당한다. s(n) = n이 되는 수를 완전수라 한다.

성질[편집]

p소수일 때에만

\sigma_1(p)=p+1

이 성립한다. 정의에 의해 소수의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha_{i}}소인수분해된다면,

d(n) = \prod_{i=1}^{r} (\alpha_{i}+1),
\sigma(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{\alpha_{i}+1}-1}{p_{i}-1}

이 된다. 일반적으로 a>0인 경우,

\sigma_{a}(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(\alpha_{i}+1)a}-1}{p_{i}^a-1}

이 성립한다.

그리고 오일러-마스케로니 상수 값을 γ로 적을 때,

\limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\sigma(n)}{n \ln \ln n} = e^\gamma

가 된다.

약수 함수열[편집]

함수 OEIS 번호 σk(n) (n=1, 2, 3, …)
σ0 A000005 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, …
σ1 A000203 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, …
σ2 A001157 1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, …
σ3 A001158 1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, …
σ4 A001159 1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, …
σ5 A001160 1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, …
σ6 A013954 1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, …
σ7 A013955 1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, …
σ24 A013972 1, 16777217, 282429536482, 281474993487873, …

바깥 고리[편집]